数学破题36计第22计 数形开门 体美神丰

第22计  数形开门  体美神丰

●计名释义

“有数无形少直观，有形无数入微难”.——这是华罗庚先生讲数形结合的意义.

“凭直观，图上看；想深入，解析出”.——这是专家们谈形与数各自的特征.

“遇式不用愁，请你先画图；看图莫着急，静心来分析”.——这是在讲数形互动.

“图形有形象，记数不易忘；解析有内功，看图静变动”.——这是在讲数形互补.

“观图见形美，初品数学味；想数内涵丰，数学色调浓”.这是美学家对数形的赞赏.

函数有图形——图象，轨迹有图象——图形，三角、几何就更不必说，集合有韦恩图，逻辑有方框图，组合、二项式有杨辉三角，如此等等.

然而，数形结合中的形，仅相对数而言.如几何中最简单的直线，平面等，现实生活中并不存在.

这里的形是数的象征，是精神的直观.现在有人把“函数图象”写成“函数图像”，这是对数形的大误，你怎么不把“想象”写成“想像”呢？

●典例示范

【例1】   若直线y=2a与函数y=|a^x-1|（a>0，a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是                          .

【解答】   函数y=|a^x-1|=，其图象由y=|a^x|（a>0，a≠1）的图象下移一个单位得到.如图，当a>1时，直线y=2a与y=|a^x-1|(a>0，a≠1)的图象仅一个交点； 当0<a<1时，当且仅当0<2a<1时，直线y=2a与y=|a^x-1|（a>0，a≠1)的图象有两个公共点，解得a∈(0，).

 

 

 

 

 

 

 

 

                                例1题解图

【评注】   本题也是有数无形，解法是“图形开门，体美神丰”.

【例2】            当曲线y=1+与y=k(x-2)+4有两个相异交点时，

实数k的取值范围是                                                  （      ）

A.         B.          C.         D.

【解答】  方程即y=1+即x²+(y-1)²= 4   (y≥1)，它表示以（0，1）为圆心，2为半径的上半圆；方程y=k(x-2)+4表示过（2，4）且斜率为k的直线.原题的含义是：当直线与半圆有两个相异交点时，该直线的斜率应在什么范围？

如图，直线MB、MC与半圆切于B、C，

半圆的两端依次为A（-2，1）（2，1）.

显然，线段AB内任意一点与M的连线

与半圆都只一个公共点，

∴k_max=k_MA=，设直线

MC交直线y=1于N，令

∠DMC=∠DMB=α，∠DNM=β，

例2题解图

显然tanα=，∴tanβ=tan(90°-2α)= cot2α=，

于是斜率k∈，选B.

【反思】   只有准确理解“数”的意义，才能恰当的“图形开门，体美神丰”.

【例3】   设实数(x，y)满足方程x²+y²-2x-2y+1=0，则的最小值是             .

【解答】      圆(x-1)²+(y-1)²=1

的圆心C (1,1)，半径r=1.  如图所示，

此圆在第一象限且与两轴相切，

为求的最小值.  先求的最大值.

表示圆上的点（x,y）与定点P（-1，0）连线的斜率.    例3题解图

∴k_PA≤≤kPB（其中PA、PB为过P所引圆的切线）.     设∠APC=∠CPB=θ，则tanθ=,

∴tan∠BPA=tan2θ=.   ∴  从而

【例4】   已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当x∈(0，3)时，f (x)的图像如图所示，那么不等式f (x)·cosx<0的解集是                   .

【思考】   将f (x)在（-3，3）内的图像补充完整如图所示.

可知：当x∈(-1，0)∪(1，3)时，f(x)>0，为使f (x)·cosx<0，只须cosx<0，得x∈;

当x∈(-3，-1)∪(0，1)时f (x)<0，为使f (x)·cosx<0，只须cosx>0，得x∈∪(0,1)

∴f (x)·cosx<0的解集为∪(0,1)∪.

 

 

 

 

 

 

        例4题图                                       例4题解图

 

【点评】   仅凭图像，无法断定f (x)的解析式，就本题而言，也不必纠缠于此而花费不必要的精力.能断定f (x)的正、负区间即足够解题需要，这即是图形的功能.

●对应训练

1.若不等式x²-log _ax<0在(0，0.5)内恒成立，则a的取值范围是           （      ）

A.≤a<1         B.0<a<         C.0<a<1         D.a>1

2.P是抛物线y=x²上任意一点，则当P和直线x+y+2=0上的点距离最小时，P与该抛物线的准线距离是                                                       （      ）

A.                  B.                  C.1                  D.2

3.方程的实根共有                              （      ）

A.1个                  B.2个                  C.3个                  D.4个

4.若方程=2有实数解，则a的取值范围是                      （      ）

A.(-2，0)∪(0，)                         B.［-2，0)∪(0，］

C.(-2，)                                 D.［-2，］

5.若关于x的方程2log₂(x+a)=1+log₂x有且仅有一个实数解，试求实数a的取值范围.

●参考答案

1.A   在同一坐标平面内作y₁=x²，y₂=log _ax的图像，如图，

由题意可知必有0<a<1；进而设x=0.5时，y₁=x²图像上的点为A，两曲线的交点为P，要使y₂>y₁在（0，0.5）内恒成立，必须且只需P点在A的右边，而P点与A点重合时，a=,根据对数曲线随底数的改变而变化的规律得≤a<1.

 

 

 

 

 

 

 

 

             第1题解图                             第2题解图

 

2.B   作出y=x²及x+y+2=0的图像如图所示，设与x+y+2=0平行的抛物线切线为L，由图可知，切点P₀到x+y+2=0的距离最小，设P₀（x₀，y₀）,则L方程为y=-x+b与抛物线y＝x²联立得：x₀=，则y₀=x=. 所以P₀到抛物线准线y=-的距离为.

3.A   设y₁=，

变形得(x-2)²+y=8，∴y₁的图像是以（2，0）为圆心，2为半径的上半圆， 设y₂=，变形得：(x-1)·(y₂+1)=1，y₂的图像是以直线x=1，y=-1为渐近线的双曲线，如图所示，两曲线仅一个交点，即原方程只有1个实根.

 

 

 

 

 

 

          第3题解图                                      第4题解图

 

4.A   原方程可变形为lg=lg(x-a)，设y=，它表示以原点为圆心，为半径的半圆，如图，设y=x-a(y>0)，它表示斜率为1的射线（不含端点），其中a的几何意义是射线在x轴上的端点，如图所示，当-2≤a<时，两曲线有交点，又因为x-a≠1，令x=1+a代入方程2-x²-(x-a)²=0，解得a=0或a=-2，所以a≠0且a≠-2，故a∈(-2，0)∪(0，).

5.解析   ∵原方程

∴原方程有且仅有一个实数解等价于方程x+a=在x>0时有且仅有一个实数解.

问题转化为直线y=x+a与曲线y=(x>0)在平面直角坐标系中有且仅有一个交点，由图像易得a=或a≤0.

点评   本题若用代数方法求解比较繁琐，由数向形的转化,使得问题的解决显得形象直观而又简洁明了.