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在我看来，一个人如果要在数学上有所进步，他必须向大师们学习，而不应向徒弟们学习。——阿贝尔（Niel Henrik Abel） 一、文艺复兴运动 1.革命在欧洲产生的影响 大约从1400年到1600年的这段时期，欧洲被几件事情深深地震撼，最后使得知识界的面貌大大改变，并使得数学活动以空前的规模和深度蓬勃兴起。 革命的影响是十分广泛并且连续不断的，几乎遍及欧洲每个国家每个城市的战争乃是政治变革的起因。虽然意大利各邦在15、16世纪的历史被不断的阴谋、大屠杀以及战争的破坏弄得支离破碎，但政治上不断的变迁以及某些民主政府的建立，则是有利于个性成长的。反抗教皇统治——当时政治上、军事上的主要力量——的战争，不仅从教会的统治下解放了人民，而且还鼓励知识分子造反。 文艺复兴时期的意大利 中世纪后期，意大利得到了大量的财富。意大利各港口地位极为优越，有利于把亚洲、非洲进口的货物转运到欧洲其他地区去。大银行的建立使意大利成为经济中心。这种财富对于学术活动是不可少的。就在这个被搞得最一塌糊涂、混乱不堪的意大利，最早酝酿并且表现出了形成西方文化的思想。 文艺复兴发祥地——佛罗伦萨 15世纪，希腊的著作大量进入了欧洲。在这个世纪早期，罗马和拜占庭帝国——它们占有大量的希腊文稿，但一直是孤立的——之间的联系变得很紧密。拜占庭帝国在和土耳其人打仗时，曾想得到意大利各邦的帮助。在关系改善的情况下，希腊的教师们被带到了意大利，而意大利人则到拜占庭去学希腊文。当土耳其在1453年征服君士坦丁堡时，希腊的学者带着许多文稿逃到意大利。这样不仅使欧洲有了更多的希腊著作，而且新得到的手稿远比早先在12、13世纪时得到的要好得多。这以后，直接从希腊文译成拉丁文的译本比从阿拉伯文转译的要可靠得多。 大约在1450年，古登堡（Johann Gutenberg）发明活版印刷，加速了知识的传播。从12世纪以来，欧洲通过阿拉伯人，从中国学来了制造麻纸和棉纸，以代替羊皮纸和草片纸。从1474年，数学、天文学和占星术的著作开始印刷出版了。例如由坎帕纳斯（Johannes Campanus，13世纪）译成拉丁文的欧几里得《原本》的第一次印刷版本，1482年在威尼斯出现了。到了下一个世纪，阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》的前四册、帕普斯的著作、丢番图的《算术》以及其他一些著作，也以印刷版本出现了。 古登堡活字印刷 罗盘和火药的引进是有重大意义的。罗盘使得远洋航行成为可能。火药在13世纪引进，它改变了战争的方法和防御工事的设计，使得研究抛射体的运动变得很重要。 由于制造业、矿业、大规模的农业以及各种贸易的大量发展，一个新的经济时代开始了。所以这些企业中遇到的技术问题都以比过去旺盛得多的活力着手来解决。新社会拥有一个不断增大的自由手工业者和自由劳动者阶级，独立的机械工人和支付工资的雇主都有迫切愿望去寻找节省劳动力的方法。为了改进生产方法和材料的质量，资本主义经济竞争也促使人们直接去研究一些物理现象和因果关系。因为教会曾对这些物理现象作出过很多解释，矛盾就产生了。每当物理的解释被证明比神学的解释更为有用的时候，神学的解释就被人们抛弃了。 15、16世纪的地理勘察是为了寻找更好的贸易途径和商品资源，它给欧洲带来了有关异地的植物、动物、气候、生活方式、信仰和习惯的知识。这些知识对中世纪的教条提出了挑战，并激发了人们的想象力。 根据直接的观察以及一些探险家和商人带回欧洲来的见闻，引起了对教会的科学和宇宙学说的可靠性的怀疑，对教会压制实验和压制人们思考新秩序所产生的问题的反抗，一些教会领导人道德上的堕落，教会出卖赎罪券之类的腐败行为，以及最后严重的教义分歧，这一切最终导致了宗教改革。这些改革者由一批渴望打破教会势力的商人和王公贵族支持着。 宗教改革并没有解放人们的思想和精神。新教领导人的目的只在于挂出他们自己牌号的教条主义。但是，在提出关于圣礼的本性、教会统治的权威以及在圣经上一些文字段落的含义等问题时，路德（Martin Luther）、加尔文（JohannesCalvin）、慈运理（Ulrich Zwingli）这些人无意中激励了很多人去想一些以前所不敢想的问题。思想被激发了，辩论引起了。 1521年，路德在帝国议会 更进一步，为了争取信徒，新教宣传信仰的基础乃是个人的判断而不是教皇的权威。于是各种不同的信仰被认为是合法的。许多人在要求他们选择天主教还是新教时宣称：“你们双方都见鬼去吧。”他们同时背弃天主教和新教，面向自然、观察和实验，以此作为知识的来源。 2.知识界的新面貌 教会是建立在权威上的，它崇拜亚里士多德，并把怀疑定为有罪。教会也蔑视物质的享受而强调身后灵魂的得救。这些教条与希腊准则——对大自然的探讨；物质世界的享受；力求身心的完美；研究问题和发表见解的自由；对人类理性的信赖——鲜明对立。教会的权威，对世俗生活的限制，信赖圣经是一切知识的来源并应主宰一切的主张，这些都引起了知识分子们的反感，使他们如饥似渴地接受了新的价值准则。 数学兴趣的复活几乎是随着希腊知识和生活准则的复活一起而来的结果。欧洲人知道了自然界是按照数学方式设计的，这种设计是非常和谐优美的内部真理。自然界是合理的、简单的而且有序的，它是按照万古不易的规律行动的。毕达哥拉斯—柏拉图强调数量关系作为现实精髓的思想逐渐占据了统治地位。哥白尼、开普勒、伽利略、笛卡尔、惠更斯和牛顿实质上在这方面都是毕达哥拉斯主义者，并且在他们的著作中确立了这样的原则：科学工作的最终目标是确立定量的数学上的规律。 毕达哥拉斯主义者庆祝日出 在各种哲学系统纷纷瓦解，神学上的信念受人怀疑以及伦理道德变化无常的情况下，数学是唯一被大家公认的真理体系。数学知识是确定无疑的，它给人们在沼泽地上提供了一个稳妥的立足点，人们又把寻求真理的努力引向数学。——这是数学兴趣复活的第二个原因。 那么，神学中上帝创造宇宙之说怎么能够同寻找大自然的数学规律并行不悖呢？回答是提出一种新的教条，即上帝是按数学方式设计大自然的。换句话说，把上帝推崇为一个至高无上的数学家，这就使寻找大自然的数学规律成为一件合法的宗教活动。 这个理论鼓舞了16、17世纪甚至18世纪一些数学家的工作。文艺复兴时期的自然科学家是神学家，用自然代替圣经作为他们的研究对象。哥白尼、第谷·布拉赫、开普勒、伽利略、帕斯卡、笛卡尔、牛顿和莱布尼茨再三谈到上帝通过他的数学方案给宇宙以和谐。数学知识，因为它本身是宇宙的真理，就像圣经里的每行文字那样神圣不可侵犯，甚至高于圣经中的文字，因为它是明确的、无可非议的知识。 数学家和科学家们的信仰与态度是文艺复兴时期席卷整个欧洲的更大量文化现象的返利额。希腊的著作冲击了非常虔诚的基督教世界，知识界的领导人则生在一个世界而被另一个世界所吸引，他们就把两个世界的教义融为一体。 3.学识的传播 新的准则的扩散是缓慢的。首先，希腊著作只有在教会内外王公贵族的朝廷里才能找到，不是一般人所能接近的。印刷业大大地帮助了书籍的广泛流传，但效果也是逐渐显示的，因为即使印刷的版本也是很昂贵的。传播知识的问题还由于另外两个因素而变得复杂了。第一，愿意把数学和科学运用于工业、手工业、航海、建筑和其他一些工作项目中去的人大都没有受过教育，上学的人并不是很普遍。第二个因素则是语言问题。有学问的人——学者、教授和神学家——熟悉拉丁文，也略谙希腊文。但是，艺术家、手艺人和工程师只懂得本地方言——法语、德语和几种意大利语——因此不能从希腊著作的拉丁文译本中获得教义。 从16世纪开始，许多希腊的经典著作被用通俗的语言译出。例如，塔尔塔利亚在1543年把欧几里得的《原本》由拉丁文译成意大利文。翻译活动一直进行到17世纪，但进展得很慢，因为不少学者轻视普通人。他们喜欢用拉丁文，因为他们认为拉丁文的传统地位会使他们的说话有权威。为了抵制这样的人并得到公众的支持，伽利略特意用意大利文写作。笛卡尔也因为同样的理由而用法文写作，他希望那些只凭天然理性的人能比那些死抱古籍的人更善于鉴定他的著作。 塔尔塔利亚（首先提出三次方程的一般解法） 在佛罗伦萨，由美第奇（Medici）家族资助开设了一些图书馆，几个教皇也在罗马这样做。一些自由派的领导人建立了学院。最有名的是佛罗伦萨的设计学院，它是由科西莫一世·德·美第奇（Cosimo I de' Medici，1519—1574）在1563年建造的，那儿变成了数学研究的中心。此外还有罗马的山猫学会（Accademia dei Lincei），在1603年建立。这些学院的成员把拉丁文著作译成普通语言，向公众作报告，并通过他们之间的相互交往，扩大和加深了自己的知识。这些学院是以后英国、法国、意大利和德国建立的一些最有名的、对知识的传播大有作用的科学院的前身。 佛罗伦萨设计学院（世界第一所美术学院） 遗憾的是15、16世纪的大学在这一发展中没有起什么作用，神学统治了大学。实验是不需要的，学校外面的新发明是被忽略的。保守的大学教授们尽其所能地死抱着由13世纪以来经院派学究们所创立的中世纪的学问。 4、数学中的人文主义活动 当经院派学者死抱着中世纪末期的教条时，一批新的人文主义者专心从事着收集、组织并批判地学习希腊和罗马的学说。这些人勤勉地学习，用他们那种整个说来不无问题的巧妙手段来清除书籍中的错误并恢复失散了的材料。他们奴隶般地接受、重复并且无休止地阐释那些他们在古代和中世纪的原稿中发现的东西，甚至从事语言学的研究以确定确切的含义。他们也写很多书，那不过是把古老的著作按经院派的意见重新予以解释。虽然这种活动可能唤起了人们对学习的兴趣，但它也给人们一个错觉，似乎学问仅仅是为了加深和巩固已有的知识。 16世纪人文主义的代表人物是代数学家卡尔达诺（Gerolamo Cardano），他1501年生于帕维亚（Pavia）。他作为一个无赖和学者的生涯是文艺复兴时期那些怪人的离奇生涯中最不寻常的一个。
在度过一个悲惨的童年，把青春贡献给数学、物理、赌博之后，他从帕维亚大学医科毕业了。他开了业，后来又在米兰和博洛尼亚教书，成为闻名全欧的医生。他还作为数学教授在几个意大利大学中任教。在1570年他因给耶稣基督算命的异端罪名被拘入狱。奇怪的是，教皇后来却雇用他当占星术士。在他75岁时（1576年死前不久），他因有了名誉、一个外孙、财产、学问、有权势的朋友、笃信上帝和有十四只好的牙齿而自诩。 他的作品包括数学、天文学、占星术、医学和其他许多学科，其中还有道德格言（用来弥补他在纸牌方面的欺骗行为）。他写了关于宇宙间各种居民的巨著，即关于天使、恶魔和各种各样的智慧人物，在书中还包含了那些无疑是从他父亲的卓越朋友达芬奇那里偷来的材料。现存他的著述材料约有7000页。
自然哲学家企图把一切现实统一在巨著中的混合主义趋势，也表现在卡尔达诺的数学著作上。他不加批判地把古代、中世纪和当代理论方面和经验性的已有数学知识不辞其劳地拼成百科全书式的堆集。他既醉心于那不可思议的和神秘的数论，又爱好代数思维，在这方面他对同时代的人先进。他对数学的兴趣高过16世纪其他一些博学的自然哲学家。但数学对他来说不是方法，而是一种特殊的不可思议的才能，并且又是一种满载激情的思维。 一个名气较小的人文主义者丹蒂（Ignazio Danti，1537—1586）是博洛尼亚的数学教授，他写了一本通俗数学，把所有纯数学和应用数学搞成一串简要的表格。《缩减为表的数学科学》（Le scienze matematiche ridotte in tavole，博洛尼亚，1577）代表了那时代的分类精神；它为16世纪后期学校的数学教学指引了道路。丹蒂是那些提倡把应用数学当作一个学术分支的少数数学家和天文学家之一。书中表明当时的数学包括了算术、几何、音乐、占星术、仪器测算、气象学、折射光学、地理学、水文学、力学、建筑学、军事建筑学、绘画和雕塑。前四个科目代表纯粹数学，其余为应用数学。
丹蒂 蒙特（Guidobaldo del Monte，1545—1607）、巴尔迪（Bernadino Baldi，1553—1617）和贝内代蒂（Giovanni Battista Benedetti，1530—1590）等数学家对力学的研究是有代表性的。这些人没有掌握阿基米德的定理，帕普斯的工作对他们来说更有意义和吸引力，因为帕普斯译述了早期希腊古典作品中的证明。他们把自己限制于改正个别的结论和定理；接受了很多错误的东西，此外，他们没有能力将活的重要想法和已经僵死的东西区分开来。他们的人文主义的训练使他们倾向于把所有新和旧的知识都纳入欧几里得的推理中，不管这与实验是否一致。因此他们的批判能力减弱了，而他们自己的经验失去了价值。 从原则和实质上来说，他们是最末一批中世纪学者，而不是新的思想方法和研究方法的创造者。意大利的数学家和物理学家莫鲁里克斯（Francesco Maurolycus，1494—1575）、贝内代蒂、巴尔迪和蒙特，这些伽利略后来慷慨地称之为老师的人，他们在某些方面也为伽利略开辟了道路，但是因为他们倚靠着古老的思想方法，所以没有为解决什么数学、物理问题作出别开生面的贡献。 5.要求科学改革的呼声 像过去各个世纪一样，数学从物理科学哪里取得了主要的启示和课题。不少人体会到科学的方法论必须要改变，他们倡议摆脱经院哲学和无批判地接受希腊知识。 最早明确地提出要以新的态度对待知识的人之一是达芬奇（1452—1519）。他在体力上和精神上有不可思议的天资，使他成为杰出的语言学家、植物学家、动物学家、解剖学家、地质学家、音乐家、雕塑家、绘画家、建筑学家、发明家和工程师。达芬奇郑重宣布他不相信经院派学者奉为金科玉律的知识。他有一句名言：“如果你不立足于大自然这个很好的基础，你的劳动将无裨于人，无益于己。”还有：“在以数学为依据的科学的研究中，如果有些人不直接向自然界请教而是向书本的作者请教，那么，他就不是自然界的儿子而只是孙子了。”
达芬奇相信实践和理论的结合，他说：“一个人如喜欢没有理论的实践，他就像水手上船而没有舵和罗盘，永远不知道驶向何方。”另一方面，他说理论离开了实践是无法生存的，产生之后便会消亡：“理论好比统帅，实践则是战士。”他希望用理论指导实践。 然而，达芬奇并没有掌握真正的科学方法。他没有方法论，也没有以任何哲学作为基础。他的工作是大自然研究者的实践，是受美学的推动和启发而来。他有兴趣寻找数量关系，从这点说他是现代科学的先驱者，但他不像伽利略那样自觉追求定量规律。他的著作对真正的数学家和科学家没有产生什么作用。 达芬奇对数学的看法以及他对数学的实际知识和用法是他那个时代所独有的，而且反映了那个时代的精神和方法。达芬奇在著作中多处暗示自己是一个有学问的数学家，也是一个有职业数学家的工作水平的渊博的哲学家。例如，他说：“一个人如怀疑数学的极端可靠性就是陷入混乱，他永远不能平息诡辩科学中只会导致不断空谈的争辩……因为人们的探讨不能称为是科学的，除非通过数学上的说明和论证。”人们往往根据这些话把达芬奇看成一个比他实际更为伟大的数学家。但当你审阅达芬奇的笔记本时，你会发现他的数学知识是多么少，而他处理问题的方法完全是经验的、直观的。
达芬奇部分研究成果 在倡导科学方法改革中更有影响的是弗朗西斯·培根（Francis Bacon，1561—1626），他寻找在智慧、道德、政治、物理诸方面获得真理的方法。弗朗西斯·培根的杰出口才、广博的知识、开阔的眼界以及对未来大胆的设想，吸引人们去注意正在发生的事以及注意他所描写的“伟大复兴”，而不是草草一看。他阐述的鲜明格言引起了人们的注意。最后当人们注意到科学政治开始作出他倡导的进步时，就推崇他为革命的提倡者和领导者。实际上，他比同时代人更加理解正在发生的变革。
1605年，他发表了论文《崇学篇Advancement of Learning》，接着在1620年发表了《新方法Novum Organum》。在后一本书中他指出以前对自然界的研究软弱无力而所得结果微小。以后的进步在于方法的改变。所有的知识是从观察开始的。然后，他作出了非凡的贡献，就是坚持“逐步的和继续不断的归纳”以代替草率的一般结论。弗朗西斯·培根说：“寻找和发现真理有两条路，也只有两条路。其一，通过感觉和特例飞跃到普遍的公理，然后通过这些原则及一劳永逸的真理发明和判断一些派生的公理。另一种方法是从感觉和特例收集公理，不断地逐步上升，这样最后到达更普遍的公理；这后一种方法是真实的，但尚未有人试用过。”他所谓的“公理”是指通过归纳所得的一般性的命题，适宜于用作演绎和推理的起点。 培根攻击对自然现象学究式的探讨，他说：“由推辩发现的公理是不能用来得到新的发现的；因为自然界比推辩本身细致微妙许多倍……在人心目中第一个设想的根本错误是不会被后来优越的药物和条件治好的……我们必须引导人们去研究个别的现实，而人们自己则必须在一段时间内把自己的概念放下而使自己熟悉事实。” 培根没有认识到科学必须通过测量才能得到定量的规律。他也没有意识到一切发明必须具备的创造才华。实际上，他说“天才的敏锐和力量是不足道的，所有天才和智慧都在同一水平上。”
培根虽然自己没有创造但却发出了关于实验方法的宣言。他攻击先验的哲学体系、思维的创造和无聊的炫耀学问。他说科学工作不应该卷入寻求最终原因的迷阵中，这是属于哲学的事。逻辑学和修辞学仅仅在组织我们已知的事物时才有用。让我们接近大自然并面对着它。我们不要搞杂乱的。偶然的试验，要让它成为系统的、彻底的和有一定方向的。数学应该是物理学的仆人。总之弗朗西斯·培根对后代人提出了一个吸引人的纲领。 另外一个学说和纲领也和他有关。当占星术家、预言家和炼金术士们的假科学在中世纪盛极一时并影响了一些更有理性的经院派学者时，由于培根的劝告，掌握大自然变成了一种确定的学说和一个贯穿一切的动力。 培根希望致知识于应用，他想以掌握自然来服务并造福于人类，而不是为博得学者的高兴和快乐。如他所说，科学应上升为公理然后又下降到应用。在《新大西洲The New Atlantic》中培根描写了一个学者组成的社会，它给他们提供了地方和装备去探索有用的知识。他预见到科学将会供给人们以“无尽的商品”，“赋予人类生活以发明和财富，并提供便利与舒适”。他说，这是科学的真正合理的目标。
笛卡尔在《方法论讲话Discourse on Method》中响应了这个思想：“获得对生活非常有用的知识是可能的，和学校里所教的纯思辨哲学不同，我们能够发现一个实用的哲学。......使得我们自己成为大自然的主人和占有者。” 化学家波义耳（Robert Boyle）说：“人类的福利能够通过自然科学家对各行各业的洞察力提高很多。” 培根和笛卡尔所提出的挑战很快被接受了，科学家们乐观地投入到了解自然征服自然的工作。这两种动机至今仍是一种主要推动力。从17世纪以来科学和工程间的相互联系确实飞快地增长起来。 这一纲领也被政府认真采纳。在1666年由科尔贝（Jean-Baptiste Colbert）建立的法兰西科学院、建于1662年的伦敦皇家学会都是为了培育“这种将来能有用的知识”和促使科学变得“有趣同时有用”的。
法兰西科学院
伦敦皇家学会 6.经验主义的兴起 当科学的改革者主张转向自然并要求实验事实的时候，面向实际的手工业者、工程师和画家确实在获得扎实的经验事实。运用一般人天然的直观的处理方法，寻找的不是最终的真意而仅仅是他们在工作中遇到的现象的有效解释，这些技工们得到的知识嘲弄了那些博学的学究乃至人文主义者提出的繁复辩解，在语汇学上的长篇推敲，纠缠不清的逻辑推理，以及对罗马和希腊权威的浮夸引证。由于文艺复兴时代的欧洲在技术上的成就超越并多于其他文明社会的成就，所以他们在工作中得到的经验知识是巨大的。 眼镜制造者虽没有发现一个光学定理，却发明了望远镜和显微镜。技术人员以有分寸的、渐进的步骤（那是关于科学方法的任何抽象观点所不能启示的）获得的真理，就像大胆的猜测所敢于设想的那样深奥、广泛。理论上的改革者是大胆、自信、急促、有雄心和蔑视古老的东西，而实际的改革者则是小心、谦虚、缓慢并善于吸取所有的知识，不管是由传统而来还是由观察而来。他们工作着而不是空想，研究细节而不是一般的规则，他们对科学添砖加瓦而不是给予定义或是建议如何来得到它。在物理、塑造工艺和一般技术领域中，不是理论上的思考而是经验成了知识的新来源。
世界上第一副可佩戴眼镜 和手工艺者的纯经验主义结合，或者受到他们提出的问题的启示，系统的观察和实验逐步产生了。亚里士多德和盖伦等希腊人曾经作了大量的观察，并且讨论了在观察基础上能够作出什么样的归纳，但是不能说希腊人曾经有过实验科学。文艺复兴时代的科学活动在一定的程度上标志着现代宏大的科学事业的开始。文艺复兴时代最可观的一批实验工作者是由维萨里（Andreas Vesalius，1514—1564）领导的生物学家团体、由阿尔德洛万迪（Ulysses Aldrovandi，1522—1605）领导的动物学家团体以及由塞萨尔比诺（Andrea Cesalpino，1519—1603）领导的植物学家团体。 吉尔伯特（William Gilbert，1540—1603）在著名的《磁学》（De Magnete，1600）一书中明确地指出，我们必须从实验出发。他的一连串仔细进行的、周到而简单的实验在实验方法中是经典的。
1351年第一幅有眼镜出现的绘画作品 和这些实际工作同时，人们追求一个科学上更大的目标——了解自然界。晚期经院派学者在落体方面的工作在16世纪继续有人进行，他们主要的目标是获得运动的基本规律。有关抛射体运动的工作，经常被说成是为了满足实际需要，但在更大程度上是由对力学产生的广泛科学兴趣而引起的。哥白尼和开普勒在天文学方面的工作肯定是由于想要改进天文理论而产生的。甚至文艺复兴时代的艺术家也企图透过现象去了解现实的本质。 技术人员和科学家开始看到共同的兴趣，并欣赏从对方得到的帮助。伽利略在《关于两门新科学的对话》（Dialogues Concerning Two New Sciences，即材料力学和物体运动理论这两门科学）的头一段中，承认对他的研究工作的这种启发：“你们威尼斯人在著名的兵工厂里持续地活动，特别是包含力学的那部分工作，对好学的人提出了一个广阔的研究领域，因为在这个部门中所有类型的机器和仪器在被很多手工艺者不断制造出来。在他们中间一定有人因为继承经验并利用自己的观察，在解释问题时变得高度熟练和非常聪明。”
实践和纯粹科学的兴趣在17世纪被融合了。当大的原则和问题由于经验的需要而出现，希腊的数学知识被科学家们完全采用的时候，他们才能够更有效地着手进行纯科学的工作。结果是在科学活动中出现了一个规模空前的发展，加上影响深远的、重大的技术改进，在工业革命中达到了顶峰。 文艺复兴时代的数学家们为共和国和王子们工作，并和建筑师、手艺工人相结合——莫鲁里克斯是墨西拿（Messina）城的工程师，巴尔迪是为乌尔比诺（Urbino）公爵服务的，贝尔代蒂是萨瓦（Savoy）公爵的总工程师，还有伽利略是托斯卡纳（Tuscany）大公爵的宫廷数学家——所以他们采纳了那些实践者的观察和经验。 到伽利略的时候，在塔尔塔利亚（1499—1557）的工作中能够大量看到科技人员和建筑师的冲击和影响。塔尔塔利亚是当代科学上自修出来的一个天才。他完成了从实践数学家到博学的数学家之间的过渡。他有辨别地从经验知识中挑选出有用的题目和有用的结果。他的独特之处在于他完全独立于在他的对手卡尔达诺的工作中典型的那种不可思议的影响。塔尔塔利亚的地位在达芬奇和伽利略之间——不仅是按年代，也是因为他在动力学问题的数学工作上把这门学问提升为一种新的科学，并且对伽利略的先驱者们很有影响。
现代数学在柏拉图“数学是现实的核心”的学说指引下，几乎完全是由具体的科学问题产生的。在研究自然并且得到包括观察和实验结果的规律这个新的方向的引导下，数学从哲学中分出来而且和物理科学联系在一起。进一步的后果是爆发了一个空前活跃和富有创造性的时期，这在数学史上是最最多产的时期。 下一讲文艺复兴时期（下）。 |
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