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黄金分割0.618,神奇而神秘的数字,带你领略它的美妙

2020-02-11  rrrrrtse

17世纪德国天文学家开普勒曾这么说:几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另外一个是黄金分割,如果把勾股定理比作是金矿的话,那么黄金分割就是钻石矿

一、什么是黄金分割?

对于线段AB而言,若存在一点C使得AC:BC=BC:AB,即“短:长=长:整体”,点C成为线段AB的黄金分割点。

AC:BC=BC:AB

而a:b的结果便是我们通常所说的黄金分割比,这个结果约等于0.618,其准确值为:

黄金分割比准确值

其实还有另一种说法,黄金分割比为b:a≈1.618,这两个结果不多不少正好差1,这是因为:

另一种说法

所以黄金分割比是个很独特的数它的倒数1,即

它与它的倒数之差为1

如果把等号右边里的x用1+1/x代替,于是黄金分割有了一副新的脸庞:连分数。

连分数

任意无理数都可以表示为无限连分数的形式,而黄金分割比显然是最漂亮的那个

忘了补充一点,黄金分割比通常用φ(希腊字母,念fai)表示。

从代数形式已经可以略显黄金分割的一点风范,而几何图形,才是让黄金分割显现钻石本质的主战场。

二、中学数学里的黄金家族

黄金三角形:若等腰三角形之比为黄金分割比,则称之为黄金三角形

其实常见的就是以下两种:

黄金三角形

要说长得好看可能等边三角形等其他三角形也不是很服气,之所以叫黄金三角形是因为可以割啊像这样,不断分割下去,始终是黄金三角形。

如果能找到一个三角形不是黄金三角形的算我输!

五角星了解一下,这里所能看到的每一个三角形也都是黄金三角形

五角星了解一下,这里所能看到的每一个三角形也都是黄金三角形!

黄金矩形:相邻两边之比黄金分割比矩形

黄金矩形

不断分离正方形,剩下的始终还是黄金矩形

三、斐波那契数列

找规律:1,1,2,3,5,8,13,21,34……

后一个数总是等于前面两数之和,这就是斐波那契数列,因斐波那契以兔子繁殖为例来引入,故又称兔子数列

假定:

①兔子在出生两个月后,就有繁殖能力;

②一对兔子每个月能生出一对小兔子来;

③所有兔子都不死。

那么一年以后可以繁殖多少对兔子?

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:

第1个月,小兔子没有繁殖能力,所以还是一对;

第2个月,兔子长大了,但这个月还是生不了;

第3个月,终于生出了第一对小兔子,所以现在一共是2对了;

第4个月,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是3对;

第5个月,……

依次类推可以列出下表:

说明:幼仔对数=前月成兔对数

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

除去前几项不同外,后面数列的变化规律都是一样的,前后一项等于前两项之和

再说说通项公式吧,作为数列研究的重点内容,斐波那契数列的通项有点抽象,其结果为:

斐波那契数列通项

明明是一串整数列,通项却含有无理数,以及这里出现了φ

那,这跟黄金分割到底有什么关系呢?

简单说,这串数列的前一项后一项比值随着数列的延续越接近黄金分割比,不妨再列个表:

四、真假黄金螺旋线

图形通常比数字更直观,分别以斐波那契数列各项值边长作正方形,分别作四分之一圆,可得斐波那契螺旋线

斐波那契螺旋线

另外还记得刚刚所画的黄金矩形吗?同样在里面作四分之一圆,得到黄金螺旋线

黄金螺旋线

两个图像是不是像极了?但明显,其实并不完全一样,放在同一个图中,下图红色黄金螺旋线绿色斐波那契螺旋线,不放到一块还真看不出来长得不一样咧。

黄金螺旋线是对数螺线e^θ,多留意下我们的大自然,就会发现有很多与其类似的图案:

好看的小姐姐!

好看的小姐姐们!

有点好看!

旋转的扶梯

气旋

发挥一下,沉睡的喵星人

苹果logo为什么舒服的原因

以及封神的蒙娜丽莎

乌议员群殴照构图契合黄金分割 如文艺复兴名画

有位大哥表示,我也要当黄金分割脸,经过精密的计算,需要这么整:

黄金分割确有美妙之处,但也无需过度神化,毕竟,上面这些认真来说没有一条黄金螺旋线,莫要把数学玩坏了撒~

史上研究螺线的大咖并不少,其中最有趣的当属瑞士数学家雅各布·伯努利,他醉心于对数螺线(黄金螺旋线是对数螺线的一种)的研究,并发现不管对对数螺线作何变换,仍是对数螺线,惊叹于这种螺线的神奇,伯努利在遗嘱里要求在其墓碑上刻上黄金螺旋线,并配上“纵然变化,依然故我”,以示死后永生不朽!

然而据说,工匠一个不小心,就刻成了阿基米德螺旋线,伯努利要是看得到估计气得能从坟墓里爬出来把工匠暴打一顿。

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