二次函数下的“平行宇宙”

针对二次函数的概念，各位考生一定不会陌生，在中考试卷中二次函数的问题往往占据很大一部分的分数比重，对于初中生来说是一道很重要的大题。这类问题的出题方式也很多样，包括“数形结合”“动点”“分类讨论”等等方式，涵盖的数学思想十分全面，是初中阶段数学学习的一个很重要的章节。近两年，二次函数背景下的角度问题越来越受到关注，如2019抚顺中考26题，2018沈阳中考25题，2018本溪中考26题，2018辽阳中考26题，2017铁岭中考26题等均有涉及。针对二次函数下的角度相等问题，本篇以一道题为例简要分析一下关于构造“平行宇宙”即相似三角形来解决问题的思路方法，希望可以帮助到更多考生。

例题：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴相交于点A(-1，0)和点B，与y轴相交于点C(0，3)，抛物线的顶点为点D，连接AC、BC、DB、DC。

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)求∠CBD的正切值;

(3) 如果点E在x轴上，且在点B的右侧，∠BCE =∠ACO，求点E的坐标。

解析：我们直接解析第三问。

方法一：如图1-1，此类方法为常规方法，虽然是可以计算出来的，但花费的时间会很多，也需要大量而又繁琐的计算，要求有较强的计算能力。

图1-1

方法二：如图2-2，如果我们对角度比较有研究，就会发现题中给出的隐含条件45°，那么就可以尝试一种较为简单的方法：我们可以利用方程的思想，设BE的长为x，则  ，利用∠ECN(∠ACO)的正切值来计算： ，所以E(6,0)。

图2-1

图2-2

方法三：通过方法二的分析，我们可以理解为构造相似三角形。如图3-2，我们可以沿用等角即相似这种思路方法，把等角和特殊角结合起来，构造，则有，并且通过观察发现△AMB是一个等腰三角形，那么本题甚至可以通过口算得出OE=6 ,非常简便。

图3-1

图3-2

方法四：通过方法三的分析，我们也可以构造一对非直角三角形相似：,则有同样可以得出EB=3，E点坐标(6,0)。

图4-1

二次函数背景下角度相等问题方法总结：

1、解析法：

基本步骤：设点—求直线—联立—求点 那么本方法的优点在于思路常规且简单，但是缺点就在于计算量大，要求考生有较强的计算能力。

2、构造“平行宇宙”—相似法：

基本步骤：首先分析题目中已知三角形的边角特点，其次若已知三角形为特殊三角形，那么需要根据未知三角形的可能边构造角来对应已知三角形的边角来构造；若已知三角形是非特殊三角形，那么可以利用未知三角形的可能角对应已知三角形的角来讨论边构造。上面例题就可以通过作高构造直角三角形相似，或者构造非直角三角形的相似来解决问题。

那么在二次函数背景下还有很多2倍角问题，日后我们继续解析，不足之处还请批评指正。