|
源自:老张文史杂谈 化圆为方，与三等分角、倍立方体并称古希腊三大几何作图问题。给定一个圆，它要求我们用圆规和直尺画出一个面积相等的正方形。这个坑一挖开，从古希腊到现在不断有人往里跳。 化圆为方传说 古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前400～347年），略早于阿基米德早一些，被称为“柏拉图同时代的最杰出的数学家”，除了数学，还精通天文学、地理学。欧多克索斯有许多数学成就，今天介绍他所建立的严谨的穷竭法，也是微积分最初的思想。穷竭法思想，最早由古希腊人安提芬在研究“化圆为方”这个问题时提出。他试图使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。 尺规作图，来源于古希腊的数学题目，意思是只使用无刻度的直尺和圆规来作图，通过有限次数的操作，解决不同的平面几何题。 化圆为方，指的是求一正方形，其面积等于一给定圆的面积。化圆为方的问题与古希腊哲学家阿纳克萨哥拉有关。传说，阿纳克萨哥拉曾在狱中服刑。一天晚上，他突然看到：圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房……他对圆的月亮和方的铁窗产生了兴趣，突发灵感，想出了这个问题。 安提芬听说了“化圆为方”的问题，就开始思考。他想出一种方法：先作这个圆的内接正方形，然后每次将边数加倍，分别得到内接正八边形，正十六边形，正三十二边形……一系列边数加倍的正多边形。安提芬认为，最后的正多边形必与圆周重合，而且任何正多边形都可以作出与之面积相当的正方形，这样就可以化圆为方了。 实际上安提芬的结论并不正确，因为尺规作图是有限次数的操作，而有限次操作画出的，一定是边数有限的多边形。不管边数多大，这样的多边形实际上不可能与圆相合。圆形和内接正多边形“相合”、“一致”是一种朴素的直觉观念。安提芬的思路，是穷竭法的开端，也是近代极限论的雏形。 将这个问题转化为：求做一个正方形，使得它的面积等于已知圆的面积的作图问题，这就是著名的化圆为方的问题。问题可转化为：已知圆的半径为1，所求作的正方形边长为x，则需满足x2-π=0,即x=√π.化圆为方的问题则转化为用尺规作图作出长度为√π线段。同样，化圆为方的问题用尺规作图仍然是不能解决的！ 然而这个问题，他自己没有能够解决，整个古希腊的数学家也没能解决，成为历史上有名的三大几何难题之一。后来，在两千多年的时间里，无数数学家对这个问题进行了论证，可还是没有得出答案。 达·芬奇的“解法” 有人跳坑，也就肯定有人耍点小聪明绕道而行。天才总是不拘一格的……，达芬奇给出的解法，是这样的：用一个以已知圆为底，高度为已知圆的半径的一半的圆柱体，在平面上滚动一周，所得出来的矩形的面积即为：S=2πr·1/2r=πr²，然后将这个矩形化为等面积的正方形即可。（如下图）， 这个方法相当狡猾，用“度量”的方法巧妙避开了“作出 π 的平方根”这个问题。当然，在欧几里德这些希腊人的眼中，这种方法只是取巧，因为一来不精确，二来太犯规，用了直尺圆规以外的工具。即使用直尺和圆规来度量也不行，尺规作图的规定就是，直尺只能拿来画直线，圆规则是画圆，它们不能有“度量”的功能。 但是这并不能怪希腊人，因为到了1882年，德国数学家林德曼，才证明圆周率π是一个“超越数”。而同样在19世纪，有人证明了如果设任意给定长度单位，则标尺可作的线段段长必为“代数数”（代数数指能满足整系数代数方程的数，而超越数则是不能满足整系数代数方程的数，如2的平方根是代数数，因为它满足方程x²-2=0；而π则是超越数）。 由此可见，化圆为方的问题和π值的计算问题是紧密联系在一起的。在我国古代，对于π值的研究和计算却有着光荣而悠久的历史，伟大的数学家祖冲之对π的研究和计算有很大的贡献。远在公元460年他就求出π的值是：3.1415926 简单的说，化圆为方的本质是用尺规作图的方法做出长度为π的平方根的线段，由上面给出的信息可知，根本不可能用标尺做出长度为π的平方根的线段，所以此题无解。 塔斯基的问题 那如果我们用更基本的东西来完成任务呢？比如说将圆切成几块，然后拼成一个正方形？那虽然不能说是“尺规作图”，但在某种意义上比尺规作图更基本，不是吗？ 数学家塔斯基（Alfred Tarski）在 1925 年提出的，正是这样一个挑战。用更精确的数学语言来说，就是要求把平面上的单位圆盘分割成有限块，每一块是一个点集，然后通过平移和旋转这些保持面积的方法，将这些点集拼成面积相同的正方形。怎么分割都无所谓，甚至是没办法做出来的分割也可以，唯独是“有限块”这种限制不能去掉。如果能分割成无限块的话，那就太简单了，只要把单位圆盘“磨成细末”，每一块都只有一个点的话，那别说是拼成正方形，就是拼成一幅对联也问题不大。即使是犯规，也是有底线的。 这乍听起来是个很无理的问题。别的先不说，要把圆变成正方形，总要先处理那弯弯的圆周吧？看起来无论怎么切，只要是有限块，那恐怕也不能将弯曲的边界拗成直线。实际上，可以证明，如果只用剪刀这样的工具的话（从数学上来说就是如果每一块的边界都是简单闭合曲线的话），这个任务是不可能做到的。但是，原来的题目中也没有限制只能用剪刀。只要是“点集”，无论是否连在一起，都符合要求，所以希望还有，不过就是更“犯规”一点而已。 从化圆为方到选择公理，拉兹柯维奇的答案 在 1990 年，匈牙利数学家拉兹柯维奇（Miklós Laczkovich）终于肯定地解答了塔斯基的这个问题。他证明了这样的先割后补的“化圆为方”方法是存在的。美中不足的是，他并没有实际给出一个割补的方法，而只是证明了这样的方法存在，而且粗略估计需要将圆切成大约 10 的 50 次方个点集。而更为犯规的是，这些点集是没有面积的。这些点集甚至不是面积为 0，而是我们根本无法定义它们的面积。在数学上，这些无法定义面积的点集叫不可测集。为了定义这些集合，拉兹柯维奇在证明中大量使用了选择公理，这是定义不可测集的唯一方法，也是令我们不能明确构造分割方法的原因。 尽管现在大多数数学家都会自然地运用选择公理和它的各种变种，但在 20 世纪初，公理集合论起步伊始之时，是否允许使用选择公理曾经是热门的争论话题之一，直接与针对数学基础的第三次数学革命扯上了关系。整场风波围绕着一个问题：什么是可以被接受的数学推理？这场关于数学基础的争论持续了几十年才慢慢平息下来。 结语 这一问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。 这一问题的无解并不重要，重要的是人们在解决问题的时候，会发现很多以前从来没有见过的知识，这些知识是数学发展的动力。而作为促进发现这些知识的问题，则是数学的真正生命力所在。可以这么说，如果哪一天，数学不能够再提出新的问题，那这门学科就已经走到尽头了。当我们怀着这样的心情来看数学界中种种不可思议的谜题时，是不是突然觉得： 参考文献：木遥在科学松鼠会上的文章， 长度是怎样炼成的 |
|
|
