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自公元前479年波斯人在米卡利（Mycale）之战中败北，雅典便成为希腊城邦联盟中的主要城市和商业中心，经济发达，政治民主、人文昌明。爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派以及其他学生都被吸引到雅典来。这里人们的重点就放在抽象推理方面，并以使理性统治遍及整个自然界和人类作为其宗旨。 一、智者学派简介 智者（sophists，原指古希腊的哲人，后泛指有智慧、有能力、技艺超群者）学派是雅典的第一个学派，包括各方面的学者大师：文法、修辞、辩证法、演讲术、伦理、几何、天文和哲学。他们以收费授徒为职业，在各种公共集会上发表演说，回答各种问题，对青年进行修辞、论辩和演说等知识技能的训练，教授参政治国、处理公共事务的本领。 智者学派最主要的代表人物是普罗泰戈拉（Protagoras，约公元前481-前411年），也是第一个收取学费并称己为智者的。他提出了哲学史上最著名的观点之一：人是万物的尺度，是第一个将哲学主题从自然转向人本的哲学家。他也是第一个采取苏格拉底式讨论方法的人。 智者学派研究数学的主要目标之一是用数学来了解宇宙是怎样运转的。有好些数学结果是为解决三个著名的作图问题而得出的副产品。 二、古希腊三大作图问题 1、立方倍积：作一立方体，使其体积两倍于给定立方体的体积。 传说希腊提洛斯岛上瘟疫流行，居民求神得指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”但各种尝试都无法实现，就请教柏拉图。柏拉图告诉他们说神的本意不是要两倍大的祭坛，而是借此谴责希腊人不重视数学并对几何不够尊崇。由于这一个传说，立方倍积问题也就被称为提洛斯问题。 2、化圆为方：做一正方形使其与给定的圆等面积。 传说这是公元前5世纪哲学家阿那克萨戈拉在狱中对着方铁窗和圆月亮想到的问题。 3、用尺规三等分任意角。 该问题传说是亚历山大国王为公主造别墅时遇到的。 这三个问题的妙处在于它们非常简单，实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规，也就是尺规作图。这是希腊人的几何传统，后来在《几何原本》中被严格规定。 两千多年来，这些问题促使人们得出了很多数学思想和发现，但直到19世纪才证明出，利用直尺和圆规是不可能完成这些作图的。 三、智者学派对三个作图问题的研究 1、希皮亚斯（Hippias，约公元前400年前后） 与割圆曲线 希皮亚斯是一个以一切学问为己任的人，在研究三等分角时认识到只使用尺规是不够的，还要求助其它工具。他发明了一种新曲线叫割圆曲线，这个名称的由来是因为它也可以解决化圆为方问题。 所谓的割圆曲线（上图），由这样的定义所指定：在正方形ABCD中，以A为圆心，AB为半径画圆，边BC匀速地从从BC运动至AD，同时线段AB绕A点也匀速地从AB旋转至AD（这意味着AB和AE同时开始运动，也同时到达终点），设运动中的BC为B'C'，运动中的AB为AE，那么B'C'与AE就有一个交点F，F的轨迹就是割圆曲线。 不同的F点对应着不同的角度EAD，只需要取AB'的三等分点B''，做B''C''平行于AD，B''C''与割圆曲线的交点为L，那么LA就是角EAD的三等分线。实际上在AB'上取不同的等分点，可以对角EAD进行任意等分。 2、希波克拉底与月牙定理 人们在追求“化圆为方”的难题的解决过程中，发现有一些除圆以外奇妙的曲边图形的面积会和某个多边形面积相等。这种发现最早应归功于公元前5世纪古希腊最出名的数学家希波克拉底。他首先发现了月牙定理：“以直角三角形两直角边向外作两个半圆，以斜边向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积。'（下图只画了一个月牙，另一个与之对称。） 月牙定理结论的优美令人称奇不已，显示了割补的技巧，使人相信一个曲边形的面积竟可以用一个直边形的面积代替。 希波克拉底对几何学的贡献很大，据说定理按其证明所需依据来排先后次序是他最早想出来的，最早把间接证法应用到数学界的也是他。 希波克拉底还指出被立方问题可以化为在一线段与另一双倍长线段之间求两个比例中项的问题。令x与y满足a/x=x/y=y/2a，则x²=ay，y²=2ax，进而得出x³=2a³。这种几何上的推理方式以后在阿波罗尼斯的《圆锥曲线》中可以看到。 3、其它学者的研究 安提丰（Antiphon，公元前5世纪）在解化圆为方问题时想起用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积。安提丰相信，如果边数不断增加，最后一定能“耗尽”多边形和圆之间的面积，进而达到圆面积成方的目的。 与他同时代的布莱松（Bryson，约公元前450年）把这个问题更推进了一步，既考虑了圆内接多边形，也考虑了圆外切多边形。然后安提丰再进一步把圆看作是无穷多边的正多边形。这种方法导致完全严格但很麻烦的穷竭法，以后可以看到欧多克索斯是如何采纳这些想法的。 数学在雅典得以更快发展...... 雅典帕特农神庙（Parthenon Temple）遗址 【三大几何作图问题的结果证明】 （1）化圆为方问题的结果 1882年，德国数学家林德曼（Lindemann，1852~1939)证明了圆周率π=3.1415926......是超越数，并且尺规作图是不可能作出超越数来，所以用尺规作图的方式解决化圆为方的问题才被证明是不可能实现的。 （2）倍立方积和三等分角问题的结果 1830年，18岁的法国数学家伽罗华提出了“伽罗华理论” ，该理论能够证明倍立方积和三等分角问题都是尺规作图不能做到的问题。 1837年，法国数学家汪策尔（Wantzel,1814~1848）终于给出三等分角和倍立方积的问题都是尺规作图不可能问题的证明。 （3）三大几何作图难题的意义 虽然三大几何作图难题都被证明是不可能由尺规作图的方式做到的，但是为了解决这些问题，数学家们进行了前赴后继的探索，最后得到了不少新的成果，发现了许多新的方法。同时，它反映了数学作为一门科学，是一片浩瀚深邃的海洋，仍有许多未知的谜底等待发现。 下一讲理想国的柏拉图学派。 |
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