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我们在第一次接触几何学时，数学老师就教我们如何尺规作图。 或许你还听说过，著名的古希腊三大几何问题，它们分别是：倍立方，画圆为方，三等分任意角。 三大难题历经2000多年后，人类才知道是不能用尺规作图完成的。 今天，我们就来简单了解一下，尺规作图的原理，相信看完后，你能明白三大几何难题不成问题的原因。 首先，我们利用尺规作图，很容易平分一条线段，甚至还可以对所有正整数开根号。 比如，作1×1的直角三角形，然后连接对角线，可以得到根号2： 继续以对角线为一边，作另一边为1的直角三角形，连接新的对角线，就可以依次得到所有正整数的开方。 那我们的问题来了！ 对于一条任意长的线段，比如长度a，那么我们可以作，长度为“根号a”的线段吗？ 答案是可以的，但是对于一条直线，我们必须指定单位长度，不然对未知长度的直线开根号，是没有意义的(你能想到是为何吗？)。 下图给出了直线a，用尺规作图“根号a”的方法。 这就是尺规作图的极限——对任意已知长度的线段，开2次根号。 但是，你永远无法利用尺规作图，得到一般的3次开方数，比如; 那么我们就可以回答，开篇的问题了。 1、倍立方的本质，是作3次根号2； 2、画圆为方的本质，是作圆周率π； 3、三等分任意角的本质，是三倍角公式下的一元三次不定方程，作其解。 我们知道圆周率是超越数，所以不可能尺规作图得到；而那个一元三次方程，其解是会得到超出2次根号数的，所以不可能所有的角度都能尺规作图三等分。 在19世纪初，法国数学家伽罗瓦，首先证明了倍立方和画圆为方不成问题；1882年，林德曼等人，证明了圆周率的超越性，否定了画圆为方问题。 另外，我们中国的近代数学起步晚，很多人在对数学前沿不了解的情况下，走了弯路。 比如在上世纪，那时的《北京晨报》，发表消息称某位国人耗费14年，解决了三等分角，这一事件还在国内外引起轰动，可不久，人们就发现他的证明是错误的。 甚至到了上世纪70年代，中国科学院每年都能收到一箩筐研究三等分角的稿件，最后不得不在权威杂志，《数学通报》上发布通告称：三等分任意角的尺规作图，是不可能的，这一命题早在200多年前，被伽罗瓦所证明。 |
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