乘法原理与加法原理

脑系科数据科学 2020-02-27

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在说明乘法原理之前, 我们首先考虑下述问题:

设有三名男生(甲、乙、丙)及三名女生(丁、戊、己)参加联谊活动, 某游戏需男女配对一同进行,

试问共有几种不同的配对方式?

首先, 我们先将可能的配对方式一一列出:

甲丁、甲戊、甲己、乙丁、乙戊、乙己、丙丁、丙戊、丙己

可以发现共有9种配对方式。但若人数太多, 一一列出可能很繁杂, 因此我们用另一方式来解这个

问题。我们将此问题分成两个步骤:第一个步骤:先从3名男生中选一名,共有3种选法, 第二个步

骤由3名女生中选一名,也有3种选法。因第一个步骤中每选一名男生,都有3名女生可供选择,故共

有 $3\times 3=9$ 种选法。

如果将上面配对过程看做完成某一件事的过程, 将选择男生看做完成此事的第一个步骤,而完成

将选择女生看做完成此事的第二步骤,并且分别将3名男生,与3名女生看成完成第一步有种方法,

第二步有种方法,则完成这件事共有种方法。事实上,我们可以推广至更一般的形式,

即所谓的乘法原理。

乘法原理

如果完成某件事情可依序分成个步骤,而第个步骤有种方法可以完成它, $j(j=1,2,\cdots,k)$

那么完成这件事的方法共有种。 $m_1\times m_2\times \cdots m_k$

有了乘法原理后,接下来我们看看下面问题:

假设某教室内有张椅子,有位学生依序选择座位,试问共有几种不同的选法?

解这个问题可分个步骤,

第一步: 第一位学生先从张椅子任选一张,共有种选法,

第二步:第二位学生从剩下的张椅子任选一张,共有种选法,

第三步:第三位学生从剩下的张椅子任选一张,共有种选法,

至第步:第只能剩下的2张椅子任选一张,共有2种选法,

至第步:第位学生只能选剩下的一张椅子,故只有种选法。

由乘法原理知:共有种选法。 $n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$

我们通常会将用来表示。读做" 阶乘"。 $n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$ 即

$\begin{displaymath}n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1\end{displaymath}$

其中,通常会将定义为1。 $n=0,1,2,3,\cdots$

底下是一些常用的阶乘值。

,	$2!=2\times 1=2$ ,
$3!=3\times 2\times 1=3\times 2!=6$ ,	$4!=4\times 3!=24$ ,
$5!=5\times 4!=120$ ,	$6!=6\times 5!=720$ ,
$7!=7\times 6!=5040$ ,	$8!=8\times 7!=40320$ ,
$9!=9\times 8!=362880$ ,	$10!=10\times 9!=3628800$ 。

除了乘法原理外, 尚有一重要的加法原理：

加法原理如果完成某件事的方法可区分成

个类别,而第个类别有种方法,且每个 $j(j=1,2,\cdots,k)$

类别互不相干,那么完成这件事的方法共有种。 $m_1+m_2+\cdots+m_k$

例如, 从甲地到乙地有飞机、火车与巴士等三种交通工具可到达,其中飞机每天有3班, 火车每天

有15班, 巴士每天25班,若A先生欲从甲地至乙地, 很明显地, 可看出此问题的A先生只能选择一种交

通工具的某个班次, 故共有3+15+25=43个交通班次可选择。

生活中的实例1

某兔穴有进出口四处, 一兔由不同一口进出的方法共有几种?

[解]: 第一个步骤:进→4种选法。

第二个步骤: 出→3种选法。

由乘法原理知,共有 $4\times 3=12$ 种方法。

生活中的实例2

假设某教室有四张椅子,甲、乙、丙、丁四位学生依序选择座位,试问共有几种不同的选法? [解]:

第一步:甲生从四张椅子任选一张 $\Rightarrow$ 4种选法;

第二步:在甲生选定后,乙生从剩下三张椅子任选一张 $\Rightarrow$ 3种选法;

第三步:在甲乙二人选定后,丙生从剩下二张椅子任选一张 $\Rightarrow$ 2种选法;

第四步:在甲乙丙三人选定后,丁生只能选择剩下的一张椅子 $\Rightarrow$ 1种选法;

由乘法原理知,共有种选法。 $4\times 3\times 2\times 1=24$

随堂练习1

某速食店举办周年庆, 提供主餐5种, 副餐4种, 饮料6种, 任选主餐、副餐与饮料各一种, 特价70元,

试问顾客有多少种选择的方式？

[解]: 120种。

随堂练习2

甲、乙两人在排成一列的8个座位中相邻而坐, 试问共几种不同的坐法?

[解]: 14种。

生活中的实例3

试求下列各值。

(1) , (2) 。 [解]: $\displaystyle \frac {5!}{3!}$ $\displaystyle \frac {3!\times 4!}{1!+2!}$

(1)原式。 $\displaystyle =\frac {120}{6}=20$

(2)原式。 $\displaystyle =\frac {6\times 24}{1+2}=48$

生活中的实例4

假设某期刊室内, 有5种周刊, 4种月刊, 3种季刊供民众阅读, 今甲生从这些期刊中任选一种,

试问共有几种不同的选法。

[解]: 因总共期刊数有5+4+3=12种,所以甲生从这12种中选一种,故共有12种不同的选法。

随堂练习3

试求 $\displaystyle \frac {12!\times 8!}{10!\times 6!}$ 之值。

[解]: 7392

随堂练习4

某校想了解学生对法律常识的认识,想从该校高三有20班,高二有19班,高一有18班，任选一班进行

法律常识测验, 试问共有几种不同的选法?

[解]:57种。

今有一列火车, 共有十节车厢, 每节车厢有52个座位, 每排4个座位, 共13排。每节车厢的座
位号码由1至52号编排。其中1号靠左窗, 2号靠右窗, 3号靠走道左侧, 4号靠走道右侧, 余
此类推。今有甲、乙、丙三位学生分别购买一张火车票, 若三人皆坐在第二节车厢的同一行,
且甲生的座位号码为42, 试问
(1) 此三人座位是靠左窗、靠右窗、靠走道左侧还是靠走道右侧?
(2) 此三人共有多少种不同的坐法?
(3) 若此三人前后紧邻而坐, 有几种不同的坐法?
(4) 若三人之座位号码和为3的倍数, 共有多少种不同的坐法?
(5) 若三人之座位号码和为90, 共有多少种不同的坐法?
某高中举行班际杯篮球赛，若有24个班级参与比赛，将其分成4组，每组6个班，每组再分两
小组(各三班)，进行单淘汰比赛(每小组首轮有一班轮空)，产生分组冠军后， 4队再进行单循
环比赛，以决定前四名名次。试问
(1) 共需安排多少场比赛?
(2) 若该校共有4个球场，每天只有二个时段能安排赛程，且每班每天最多赛一场，则学校最
少需安排多少天的赛程?

[解答]

1.(1) 靠右窗 , (2) 132 种 , (3) 2 种,(3) 46种, (4) 10种。

2. (1) 26场, (2) 6天。

试求下述各值。
(1) , (2) 。 $\displaystyle \frac {(10!)^2-(8!)^2}{8!\times 8099}$
设由山脚至山顶有三条山路, 甲、乙两人上山后返回山脚。
(1) 若二人上山可同路, 下山不同路, 则有几种方法?
(2) 若两人上山不同路, 下山亦不同路, 则有几种方法?
将100元换成5元、10元或50元铜板, 共有几种换法?
将42个弹珠分成三份,每份个数各别为、、
(1)若、、成等差数列,则有几种情形?
(2)若、、成等比数列且公比为整数,则有几种情形?
设有相同的红、白、黑色袜子各1双, 及相同的箱子3个, 若限制每个箱子各放两只不同颜色
的袜子, 则有几种不同的放法?
每次用20根相同的火柴围成一个三角形, 共可围成多少个不全等的三角形。
某国自用小汽车的牌照号码,前两位为大写英文字母,后四位为数字,例如,
若最后一位数字不能为4, 且后四位数字没有0000这个号码, 那么该国可能有的自用小汽车
的牌照号码有多少个?
有趣的阶乘: 只要一数等于其各位数字之阶乘和,便称此数为"阶乘数'' 。总共只有四个阶乘数,试找
$\hspace*{2cm} 1=1!, 2=2!, 40585=4!+0!+5!+8!+5!,$
最后一个(提示: 位数不超过3位)。