题目:一个圆桌有12个座位,编号为1至12。现有4个学生和4个家长入座,要求学生坐在偶数位,家长与孩子相邻。满足要求的坐法共有多少种? 今天的题目是排列组合问题。
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思路分析: 这道题属于排列组合问题,基本方法就是加法与乘法原理, 分类讨论用加法,分步骤进行用乘法。 题目的难点有两处: 第一是共有4个空位, 第二是家长和学生的左右关系不一定。 由于4个空位中有2个是偶数, 而偶数空位的间隔情况, 决定着奇数空位的选择种数, 又决定着家长与学生的左右关系。 故应该首先对此进行分类讨论。
先对偶数空位的间隔情况进行讨论, 再对不同的情况分别计算坐法种数, 最后将几种情况的结果相加。
步骤1: 先思考第一个问题, 偶数空位的间隔情况有几种可能? 这个问题比较简单, 2,4,6,8,10,12这6个偶数围成一圈, 由于间隔3个偶数与间隔1个等价, 间隔4个偶数与间隔0个等价, 任意2个偶数之间, 最多间隔2个偶数, 最少间隔0个偶数, 因此间隔情况有3种不同可能, 即分别间隔0,1,2个偶数。 下面将对这3种情况分类讨论。
步骤2: 再思考第二个问题, 当两个偶数空位间隔0个偶数, 有多少种不同的坐法? 第一步考虑这2个偶数空位的选法, 共有6种不同可能; 第二步考虑奇数空位的选法, 4个空位中有2个奇数空位, 分别位于这2个偶数空位的两侧, 左侧的从5个奇数位中选1个, 右侧的从1个奇数位中选1个, 共有5*1种不同可能; 第三步考虑4个学生4个家长的座位, 由于家长必须与学生相邻, 故此时只需安排4个学生即可, 共有4*3*2*1种不同可能。 由于上述过程是分步骤进行的, 根据排列组合的乘法原理, 因此有6*5*1*4*3*2*1种不同可能。
步骤3: 再思考第三个问题, 当两个偶数空位间隔1个偶数, 有多少种不同的坐法? 第一步考虑这2个偶数空位的选法, 共有6种不同可能; 第二步考虑奇数空位的选法, 4个空位中有2个奇数空位, 分别位于这2个偶数空位的两侧, 左侧的从4个奇数位中选1个, 右侧的从2个奇数位中选1个, 共有4*2种不同可能; 第三步考虑4个学生4个家长的座位, 由于家长必须与学生相邻, 故此时只需安排4个学生即可, 共有4*3*2*1种不同可能。 由于上述过程是分步骤进行的, 根据排列组合的乘法原理, 因此有6*4*2*4*3*2*1种不同可能。
步骤4: 再思考第四个问题, 当两个偶数空位间隔2个偶数, 有多少种不同的坐法? 第一步考虑这2个偶数空位的选法, 共有3种不同可能; 第二步考虑奇数空位的选法, 4个空位中有2个奇数空位, 分别位于这2个偶数空位的两侧, 左侧的从3个奇数位中选1个, 右侧的从3个奇数位中选1个, 共有3*3种不同可能; 第三步考虑4个学生4个家长的座位, 由于家长必须与学生相邻, 故此时只需安排4个学生即可, 共有4*3*2*1种不同可能。 由于上述过程是分步骤进行的, 根据排列组合的乘法原理, 因此有3*3*3*4*3*2*1种不同可能。
步骤5: 综合上述几个步骤, 考虑原题目的答案。 根据步骤1的结论可得, 步骤2,3,4已经包括所有情况, 且它们是分情况讨论的, 根据排列组合的加法原理, 只需把上述3个结果相加即可, 因此不同的坐法总数是: (6*5*1+6*4*2+3*3*3)*4*3*2*1 =105*24=2520种。 所以原题目的答案是2520。 注:步骤2,3,4其实有规律可寻, 就是5+1=4+2=3+3=6, 即便12再加大一点也容易求解。
你学会了吗? 有兴趣的读者可以考虑自行练习下面的扩展题 思考题(3星难度): 原题目换个条件。 一个圆桌有12个座位,编号为1至12。现有6个学生和6个家长入座,要求学生坐在偶数位,家长与孩子相邻。满足要求的坐法共有多少种?
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