|
之前解释过欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的解释，也探讨了著名的皮克定理是如何发现、探索、猜想和证明的，那么今天我们就来学习另一个相关的知识“欧拉恒等式”（Euler’s Formula）。 我曾经让高年级孩子们填过一个表格，关于“柏拉图立体（Platonic Solids）”的。如下图所示： 表格后面的几个问号需要用到组合数学的知识，具体我就不解释了，大家看下图就可以，这里省里五百字。比如说： 然后我把表格填完整，得到下图，问大家从表格里发现了什么？ 有一些观察力强的孩子发现了一个有趣的规律，即：顶点数＋面数－边数＝2。这就是著名的欧拉恒等式“V＋F－E＝2”。 今天我们重点来解释一下，为什么欧拉恒等式永远是成立的，不仅平面上成立，而且在立体图形上同样是成立的。 第一部分：平面上的证明 对于任意的平面图形而言，都是由有限的“边”（edges）、“顶点”（vertices）和“面”（faces）所组成。这是这个问题的一个起点，关于这个起点大家应该没有什么异议吧，否则我们就没法说下去了。 这里有3个面（或者说“区域”），有4个顶点，还有5条边，顶点数＋面数－边数＝4＋3－5＝2。欧拉恒等式成立。 要证明欧拉恒等式在平面上成立，我们可以通过数学归纳法。 第一步：计算只有一个顶点而没有任何边长时的V＋F－E，答案是2。 第二步：从一个顶点变为一条线段，即加上一个顶点和一个边长后，再次计算V＋F－E，答案还是2。因为我们分别增加了一个顶点与一条边，互相抵消了。 第三步：当我们只增加一条边，但不增加顶点时，分别计算图形增加边长前后的V＋F－E，答案依旧是2。因为虽然只增加了一条边，但没有增加顶点，但因此产生了一个区域，新增加的边长数与新增加的区域数又一次互相抵消了。 第四步：用以上步骤给任何平面且相互连接的图形增加边或者顶点，分别计算V＋F－E。 第五步：任意画几个图形，并加入一些边或者顶点，分别计算增加边或者顶点后的V＋F－E。 当你只增加一条边时，就会同时增加一个区域；当你增加一个顶点时，你就必须增加原图形的边。因此，在构建平面并且互相连接图形的每一个步骤中，都是V＋F－E＝2。 证明完毕。 第二部分：立体图形上的证明 我们以常见的立方体为例。 这里需要说明的是：在立体图形上，我们只计算这个立体图形本身所有的“面”，外部空间本身不属于我们考虑的范围。这一点与平面图形是有区别的，读者朋友可以自己想一想为什么？ 第一步：先取其中一个面进行计算，V＋F－E＝4＋1－4＝1。没错，最后等于1，不是2。
第二步：将两个面合起来进行计算，当两个面合起来的时候，相邻的4个顶点和2条边消失了，所以最后其实和上一步是一样的，即：V＋F－E＝4＋1－4＝1。
第三步：继续，在上一步的基础上再合并一个面。同理可得，V＋F－E＝4＋1－4＝1。
第四步：当我们把六个面都按照立方体的展开图合并后，如下图所示：
经过计算可得：V＋F－E＝12＋1－12＝1。 第五步：把其中两个面折起来。我们发现，在组合这个展开的图形时，每次都会使得顶点和边各减少1，所以V＋F－E＝1不变。
直到最后一个面进行组合复原时，会导致顶点减少2、边减少3。
因此，欧拉恒等式证明完毕。 这是一堂很适合与孩子们一起探索发现并进行数学归纳法证明的课，希望大家可以发现一些数学探索的乐趣。 |
|
|
