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阳春三月，万物复苏。度过了人生中最为漫长的寒冬，终于迎来了春光明媚，生机盎然。因为疫情的肆虐，纽约的生活节奏骤然舒缓了许多，心情也为之沉静，从而可以从容地整理书稿，潜心数学推演、计算机编程调试之中。 书的封面用图：Costa极小曲面的共形结构。 丘成桐先生和顾险峰同学历经十年撰写的《计算共形几何（理论篇）》教材终于脱稿，进入校对阶段，很快会付梓印刷，由高等教育出版社与波士顿国际出版社联合出版发行。 十年磨一剑 2009年，丘先生在清华大学成立了丘成桐数学科学中心。丘先生呕心沥血，亲力亲为引进全世界的数学人才，从青年才俊到学术宗师，带领中心的全体学者师生，十年间将清华数学的世界排名提高到前二十名，超越了北京大学。每年暑期，丘先生邀请世界各地的学者到中心讲学，承蒙丘先生的垂青，顾同学也在中心讲授了十年的《计算共形几何》暑期课程。 听众包括数学方向的本科和研究生，计算机、电子、自动化等工程方向的学生，更有来自工业界的同行，例如来自互联网、动漫动画、计算机视觉、AI等领域的工程师，流体力学、计算力学等领域的研究员，医学图像、医院诊所的专业人员，也有其他高校的教授学者。特别是有一些文科背景的学生，出于对美学的追求来旁听这门课程。很多听众来自于武汉、大连、昆明、杭州等外地城市，因此顾同学将课程大多安排在周末。暑期的北京酷热难捱，同学们不辞辛劳、集聚一堂，其炽烈的学习热情，对于自然真理的由衷渴望，令顾同学十分感动！ 计算共形几何涉及很多数学分支，代数拓扑、复变函数、几何测度论、微分几何、黎曼面理论、几何偏微分方程、Teichmuller理论、Ricci流理论等等；同时，计算机科学方面，这门课程涉及到计算几何、有限元、数值偏微分方程、优化、数字几何处理、计算机辅助几何设计等领域。传统上，这里面的每一门课程都要耗费一学期的课时，并且这些分支相距较远，很多现代理论散落在各种数学、计算机科学文献之中。现存的数学教材假设读者已经具备相当的数学涵养，不再覆盖基本的概念理论，横空出世，恣肆汪洋，令计算机科学背景的学生望而却步。数学教材强调严密性和形式化，并不交代来龙去脉，掌故沿革，特别是不交代引入抽象概念的根本动机和潜在应用，令人如堕云雾，难以深入。计算机方面的教材只给出算法，对于算法所依赖的数学理论，设计算法的核心思想，算法解的存在性、唯一性和稳定性，语焉不详，令人知其然不知其所以然。 十年前，丘先生和顾同学开始思考如何编写一部自洽统一的教材，以初等数学概念为基础，平地起高楼，以现代理论为目的，有机地组织庞大丰富的知识体系，贯穿诸多数学分支，横跨数学和计算机科学，既有阳春白雪、又有下里巴人，同时满足纯粹数学的前沿学者和工业实践中的工程师们的迫切需求。 为了积累素材，顾同学开了公众号“老顾谈几何”，鞭策自己及时记录下课堂讲义，以及感悟心得，同时获得读者反馈，调整改进，以求积沙成塔、集腋成裘。经过十年的探索和实践，结合自身的科研经验，我们最终编写了这部长达六百页的教材，希望能够不负众望，造福桑梓。 这部书具有如下的鲜明特色： 书中图10.2 人脸曲面的Riemann映射。 理论算法兼顾 传统的数学教材介绍概念和理论，其目的在于推动数学自身的发展；而这本教材的目的同时兼顾数学自身的发展和工业实践的要求。同时，作为计算机科学领域的学者，顾同学深知对于一个计算机背景的工程人员而言，对一套理论最为真诚的理解方式就是动手编制相应的程序，在设计数据结构和调制性能中得到体悟升华。因此，我们力求为所介绍的概念和理论都发明出相应的算法，从而衔接抽象的理论和切实的应用。 例如，几乎所有的复变函数教材都以平面黎曼映射为终结，但是绝少给出计算实例。我们的教材给出曲面黎曼映射的多种算法，包括基于全纯微分形式的算法和基于Ricci流的方法，也简介了经典的Schwartz-Christopher公式，以及Zipper算法，并且配以相应的图像、视频以及线上演示。学生们初步掌握这些算法后，可以将黎曼映照应用于自己的领域，例如动漫、动画领域的纹理贴图，计算机视觉领域的三维人脸识别，CAD领域的样条拟合，CAM领域的求解线弹性问题，医学领域的牙齿正畸等等。 书中图25.7 Riemann曲面上的全纯1-形式构成复线性空间。 黎曼面理论中的大多数概念和理论都远离日常生活经验，依赖于抽象的想象。我们在教材中详尽地介绍了这些抽象概念的计算方法，图25.7显示了全纯微分的计算结果。在人类历史上，250年前黎曼发现了这一概念，20年前我们团队首次将这一概念计算出来。任何人看到这幅图像，就会立即体悟到全纯微分的要义。图中八边形的中心是全纯微分的零点，这些零点的位置全局依赖于曲面的几何和全纯微分的整体拓扑（上同调类）。通过观察零点的变动，我们能够理解Abel-Jacobin理论的奥妙，从而体会到全纯线丛示性类的精髓。相信当读者们真正领会了这些定理之后，会对近代数学家能够在没有任何直觉体验的情况下，仅凭抽象思维就能够洞察自然界如此深邃的真理，建立如此深刻优美的数学理论而惊叹不已！更为令人惊讶的是，如此抽象的理论居然具有非常切实的应用：在机械制造业中，所有的曲面都表示成样条曲面，工程中的T-Spline等价于亚纯四次微分，T-Spline的奇异点满足Abel定理，如图1.14所示。 书中图1.14 弥勒佛样条曲面。 以战养战、以学治学 学生们在头脑中建立严密深刻的理论体系，绝非朝夕之功，深邃玄奥的概念，往往在真正应用之后才能领悟其精髓。因此，我们在介绍抽象的概念和理论之后，立即给出实际应用，令读者思考如何应用刚刚习得的概念加以解决，从而在实战之中体会到这些概念和定理的强大力量。 例如，我们在介绍了代数拓扑同伦群、同调群的基本概念之后，立即给出了Brower不动点、Lefschetz不动点的证明。不动点理论在证明方程解的存在性方面具有根本的重要性。在计算机科学领域，很多优化算法解的存在性和收敛性证明，都是依赖于不动点理论。 顾同学有一位清华室友，大学时代深深地迷恋围棋。作为东方文明的最高智慧代表，围棋一直是超凡绝伦、神秘深邃的文化符号。清华室友一直痴迷于用AI的方法来攻克围棋。这位室友精力旺盛，五年间所有的午休时间都花在设计AI围棋程序上面。数十年后，“阿法狗”横空出世，一举击败人类，“阿法零”更是摒弃了人类数千年积累的棋谱，无情地击碎了人类的虚荣。顾同学相信这位迷恋围棋的室友一定会百感交集，悲喜交加。但是，“阿法狗”是基于增强学习算法，而增强学习算法的收敛性证明恰是基于不动点理论。如此看来，不动点的拓扑理论是自然界的一部分，而围棋棋谱却是人为的。围绕围棋棋谱设计的AI专家系统，最终败于基于拓扑不动点的AI增强学习算法。由此可见，数学才是认识自然的正确途径，年轻的时候应该多学习一些数学。 共形几何具有极大的实用价值，根本原因之一在于自然界中曲面间的映射（微分同胚）绝大多数都是拟共形映射，被Teichmuller拟共形几何理论所刻画。书中所介绍的共形几何算法，可以直接被推广成拟共形映射算法，如图28.3所示。计算视觉、医学图像领域的很多应用都是基于曲面间的拟共形微分同胚。 书中图28.3 共形映射和拟共形映射比较。 视觉审美 人类历经漫长的进化，大脑皮层中绝大多数的神经元都用于处理视觉信息，因此，人类天生具有强烈的几何直觉，能够本能地体悟到几何结构的内在和谐。因此，我们用现代计算机图形学的技术，结合计算共形几何的算法，制作了上百幅插图、十数个视频，同时也准备了几十个线上演示。读者通过扫描二维码，可以在手机上查看插图，观赏视频，特别是可以与线上演示交互，通过放大、平移、旋转来观察几何曲面，通过纹理贴图来体会曲面上的各种几何结构。很多自然几何结构会引起人类强烈的审美体验，通过直觉，读者可以迅速掌握抽象概念的要义。 书中图1.8 曲面上的叶状结构。 例如，“调和”是共形几何中的一个基本概念，丘先生曾经说过“调和切向量场就是最为光滑、光滑得无以复加的场。”叶状结构是一个难以理解的抽象概念，叶状结构与全纯二次微分的关系也是比较深刻的一个理论结果。调和叶状结构具有强烈的美感，任何人看到图1.8中的图案，会立刻体会到调和叶状结构内在的和谐优美，和引进这一概念的自然而然。调和叶状结构与全纯二次微分之间的关系也呼之欲出。因此这一概念经常被应用于建筑设计之中，例如哈迪德（Hadid）设计的大兴国际机场，其理念就是基于调和叶状结构。 书中图12.8 拓扑四边形的极值长度。 连续离散的统一 经典的共形几何理论是建立在光滑流形上面的，大量的微积分运算需要流形的可微结构。但是在计算机科学领域，基本的数据结构都是离散的，例如计算机图形学、计算力学领域中常用的曲面表示是所谓的三角网格，三角网格只是连续曲面，经典的数学概念，例如绝对微分、曲率、联络、黎曼度量张量等，无法直接定义。因此，我们需要将经典的几何概念和定理系统地推广到离散情形。 书中图12.5 方块填充。 这里有两种思路，一种是用离散解来逼近连续，例如用经典的有限元方法求解偏微分方程；另外一种更加本质，更加彻底，那就是我们认为连续和离散的区分来自人为的理论工具的限制，自然界并不区分连续和离散，基本的连续几何定理必然有着离散的对应定理。我们需要做的是离散整个理论体系，而非用离散来逼近连续。 例如，如图12.8所示，给定一张人脸曲面，我们在边界上固定4个角点，则存在共形映射，将连续曲面映射到平面长方形上。图12.5显示了对应的离散定理，给定一个平面图，固定边界上4个顶点，我们将每个顶点用方块替代，则存在一组方块的边长，使得这些方块紧密填充在一个平面的长方形之中。这本教材采用离散化理论体系的观点，从而建立了离散曲面Ricci流理论，离散单值化定理，如图1.5所示。虽然离散定理更加直观，但是其理论深度和证明的技巧性与连续情形不分伯仲。 书中图1.5 离散曲面的单值化定理。 独创前沿 传统的数学教材一般传授比较经典的理论内容。这本教材有近三分之一的内容是作者们近二十年来的研究成果。书中很多篇幅用于阐述离散曲面Ricci流的理论和算法，给出离散单值化定理的详尽证明，这是目前世上这方面唯一的一本教材，因此独创性很强。相对于计算机科学领域各种算法综述的教程，这本书中的算法具有坚实的理论根基，更能够经得起长期的历史考验。 展望未来 物理世界中的任何曲面都有天然的共形结构，共形几何是大自然的一部分。计算共形几何的兴起归功于两个主要因素：一个是三维技术的蓬勃发展，特别是激光技术、DMD芯片、TOF技术的发展，CT、MRI等医学图像技术的成熟，使得三维几何数据的获取变得异常方便。但是三维几何数据分析成为技术瓶颈，传统的线性方法不再胜任，而计算共形几何提供了强有力的方法，适用于大形变曲面间配准、分析和归类。相比于计算拓扑方法，共形几何提供了更多的信息，计算结果更加精确；相比于黎曼几何，共形几何更加灵活，可以将曲面变换成平面，而黎曼几何中的等距变换无法改变曲率，无法处理一般的拓扑同胚。另外一个因素是计算能力的增加，使得求解几何偏微分方程变得切实可行。 共形结构作为自然界的一个基本几何结构，在工程和医疗的很多领域中都有深入和广泛的应用。在过去的二十年间，我们和很多领域的学者合作，日益推广计算共形几何的应用：我们和Paul Thompson，陈繁昌，王雅琳，雷乐铭等教授合作，将共形几何应用于脑神经科学领域，创立共形脑图算法；我们和Arie Kaufman，梁峥嵘教授合作，应用于虚拟肠镜领域；与秦宏教授合作，应用于计算机辅助设计领域，开创了流形样条理论；与高洁教授合作，应用于无线传感器网络领域；与Dimitris Samaras教授合作，应用于3D计算机视觉，特别是曲面配准和追踪；与Tom Hughes、罗钟铉、雷娜教授合作，应用于等几何分析和计算力学；与斯杭博士合作，应用于网格生成领域；与陈士魁教授合作，应用于拓扑优化、超材料设计领域。其中基于计算共形几何的癌症诊断算法，经由西门子公司的推广而遍布世界各地。 目前，计算共形几何的发展方兴未艾，依然存在大量的理论方面的开放问题；同时各种计算方法依然存在改进的空间，大量抽象数学概念的计算方法依然没有解决；计算共形几何的思想方法日益渗透到其他工程和医学领域，很多天马行空的应用等待年轻人去开发实现。 当代社会分工精细，从工程技术角度来看，我们可以将社会分工链简化成：物理学家、基础数学家、应用数学家、计算机科学家、软件工程师、企业家。物理学家观察自然，寻找规律，将自然规律用偏微分方程表述出来；基础数学家证明偏微分方程解的存在性、唯一性和正则性；应用数学家设计变分法，离散逼近方法，迭代格式，证明收敛阶，估计精度误差；计算机科学家设计高效的数据结构，精密的算法，并行方法，提高计算精度和效率；软件工程师保证高质量的算法实现，设计良好的用户界面，穷尽各种实用场景，提高系统的稳定性和鲁棒性；企业家思考爆款产品，精准市场定位。不同的社会分工角色具有非常不同的价值观念和文化特色，例如物理学家强调物理直觉，并不太在意数学的严密性；基础数学家强调认识问题的深刻程度和美学价值，对于复杂度没有任何限制，但是强调发现前人没有发现的规律；计算机科学家对于理论严密性相对宽容，但是计算复杂度却是致命的因素，同时强调能够算出前人无法计算的问题。每个社会分工都需要才华和创意，都需要积累加苦干。传统的教材，只集中于这一分工链条的某个步骤，这本教材涵盖了从基础数学家到计算机科学家这些步骤。我们认为培养跨领域通才，促进各个领域的合作与融合，更加适合时代的发展。我们也计划在不久的未来再编写一本《计算共形几何（编程篇）》，专门为计算机科学家和软件工程师讲解算法实现细节。 另一方面，当今时代，年轻人都希望成为企业家，将商业价值凌驾于科学价值之上，因此社会趋于急功近利，日渐喧嚣浮躁。我们希望这本教材，能够给年轻人一个窥视自然奥秘的视角，能够激发年轻人强烈的好奇心和持续的审美体验，将虚妄缥缈的冥想化成严密和谐的逻辑思辨，在选择人生道路的时候，能够坦诚面对自己，追随内心，将激情和职业相结合，将短暂的生命融入自然的永恒，为人类文明的发展贡献自己的青春！ 鸣谢 我们由衷感谢高等教育出版社的赵天夫、李鹏与和静编辑, 他们不辞辛苦, 认真细致地审读了全部书稿, 完善了细节, 并提升了质量。我们感谢陈伟、温成峰等同学，他们精心地设计实现了算法，用WebGL编写了线上演示程序。我们由衷感谢所有过去和现在的合作者们，所有过去和现在的学生们！我们对所有提供帮助的朋友都表示由衷的感谢! 由于准备时间仓促，教材涵盖内容过于丰富，新发展的理论尚未经过岁月的蒸馏，目前的阐述形式可以被进一步精炼，书中有很多错误，希望广大读者批评指正。 |
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