采样方法（一）——重要性采样（Importance Sampling）

##引子
最近开始拾起来看一些NLP相关的东西，特别是深度学习在NLP上的应用，发现采样方法在很多模型中应用得很多，因为训练的时候如果预测目标是一个词，直接的softmax计算量会根据单词数量的增长而增长。恰好想到最开始深度学习在DBN的时候采样也发挥了关键的作用，而自己对采样相关的方法了解不算太多，所以去学习记录一下，经典的统计的方法确实巧妙，看起来非常有收获。

本篇文章先主要介绍一下经典的采样方法如Inverse Sampling、Rejective Sampling以及Importance Sampling和它在NLP上的应用，后面还会有一篇来尝试介绍MCMC这一组狂炫酷拽的算法。才疏学浅，行文若有误望指正。

Why Sampling

采样是生活和机器学习算法中都会经常用到的技术，一般来说采样的目的是评估一个函数在某个分布上的期望值，也就是
E[f(x)],x∼p,p is a distribution.$E[f(x)],x \sim{p},p\ is\ a\ distribution.$E[f(x)],x∼p,p is a distribution.
比如我们都学过的抛硬币，期望它的结果是符合一个伯努利分布的，定义正面的概率为p$p$p,反面概率为1−p$1-p$1−p。最简单地使f(x)=x$f(x)=x$f(x)=x，在现实中我们就会通过不断地进行抛硬币这个动作，来评估这个概率p。
E[f(x)]≈1m∑mi=1f(xi).  xi∼p${E}[f(x)] \approx \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{f(x_i)}.\ \ x_i \sim p$E[f(x)]≈m1​i=1∑m​f(xi​).  xi​∼p
这个方法也叫做蒙特卡洛法（Monte Carlo Method），常用于计算一些非常复杂无法直接求解的函数期望。
对于抛硬币这个例子来说:
E[f(x)]=p≈1m∑mi=1xi=cntum${E}[f(x)] = p \approx \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m{x_i} = \frac{cnt_u}{m}$E[f(x)]=p≈m1​i=1∑m​xi​=mcntu​​
其期望就是抛到正面的计数cntu$cnt_u$cntu​除以总次数m$m$m。
而我们抛硬币的这个过程其实就是采样，如果要用程序模拟上面这个过程也很简单，因为伯努利分布的样本很容易生成：
yi∼Uniform(0,1)，so xi=I(y<p)$y_i\sim Uniform(0,1)，\\so\ x_i = {I}(y<p)$yi​∼Uniform(0,1)，so xi​=I(y<p)
而在计算机中的随机函数一般就是生成0到1的均匀分布随机数。

Sampling Method

可以看到蒙特卡洛法其实就是按一定的概率分布中获取大量样本，用于计算函数在样本的概率分布上的期望。其中最关键的一个步骤就是如何按照指定的概率分布p进行样本采样，抛硬币这个case里伯努利分布是一个离散的概率分布，它的概率分布一般用概率质量函数（pmf）表示，相对来说比较简单，而对于连续概率分布我们需要考虑它的概率密度函数（pdf）：

比如上图示例分别是标准正态分布概率密度函数，它们的面积都是1（这是概率的定义），如果我们可以按照相应概率分布生成很多样本，那这些样本绘制出来的直方图应该跟概率密度函数是一致的。
而在实际的问题中，p的概率密度函数可能会比较复杂，我们由浅入深，看看如何采样方法如何获得服从指定概率分布的样本。

Inverse Sampling

对于一些特殊的概率分布函数，比如指数分布：
pexp(x)={λexp(−λx)0,x≥0,x<0$p_{exp}(x) = \begin{cases}\lambda exp(-\lambda x) &,x\ge0\\0&, x\lt0\end{cases}$pexp​(x)={λexp(−λx)0​,x≥0,x<0​
我们可以定义它的概率累积函数(Cumulative distribution function)，也就是(ps.这个’F’和前面的’f’函数并没有关系)
F(x)=∫x−∞p(x)dx$F(x) = \int_{-\infty}^xp(x)dx$F(x)=∫−∞x​p(x)dx
从图像上看就是概率密度函数小于x部分的面积。这个函数在x≥0$x\ge0$x≥0的部分是一个单调递增的函数(在定义域上单调非减)，定义域和值域是[0,+∞)→[0,1)$[0,+\infty) \to [0,1)$[0,+∞)→[0,1)，画出来大概是这样子的一个函数，在p(x)$p(x)$p(x)大的地方它增长快（梯度大），反之亦然：

因为它是唯一映射的（在>0的部分，接下来我们只考虑这一部分），所以它的反函数可以表示为F−1(a)，a∈[0,1),值域为[0,+∞)$F^{-1}(a)，a\in [0,1), 值域为[0,+\infty)$F−1(a)，a∈[0,1),值域为[0,+∞)

因为F单调递增，所以F−1$F^{-1}$F−1也是单调递增的：
x≤ya≤b⇒F(x)≤F(y)⇒F−1(a)≤F−1(b)$\begin{aligned}x\le y &\Rightarrow F(x) \le F(y)\\a\le b &\Rightarrow F^{-1}(a) \le F^{-1}(b)\end{aligned}$x≤ya≤b​⇒F(x)≤F(y)⇒F−1(a)≤F−1(b)​
利用反函数的定义，我们有：
F−1(a)<x,iff  a<F(x)$F^{-1}(a)<x,iff\ \ a<F(x)$F−1(a)<x,iff  a<F(x)
我们定义一下[0,1]均匀分布的CDF,这个很好理解：
P⎛⎝⎜a≤x⎞⎠⎟=H⎛⎝⎜x⎞⎠⎟=⎧⎩⎨⎪⎪1x0,x≥1,0≤x≤1,x<0$P(a\le x) = H(x) = \begin{cases}1 &,x \ge 1\\x &,0\le x\le1\\0&, x\lt0\end{cases}$P(a≤x)=H(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​1x0​,x≥1,0≤x≤1,x<0​
所以
P(F−1(a)≤x)=P(a≤F(x))=H(F(x))因为F(x)的值域[0,1)，所以上式P(F−1(a)≤x)=H(F(x))=F(x)$P(F^{-1}(a) \le x) = P(a \le F(x)) = H(F(x))\\因为F(x)的值域[0,1)，所以上式\\P(F^{-1}(a) \le x) = H(F(x)) = F(x)$P(F−1(a)≤x)=P(a≤F(x))=H(F(x))因为F(x)的值域[0,1)，所以上式P(F−1(a)≤x)=H(F(x))=F(x)
根据F(x)$F(x)$F(x)的定义，它是exp分布的概率累积函数，所以上面这个公式的意思是F−1(a)$F^{-1}(a)$F−1(a)符合exp分布,我们通过F的反函数将一个0到1均匀分布的随机数转换成了符合exp分布的随机数，注意，以上推导对于cdf可逆的分布都是一样的，对于exp来说，它的反函数的形式是：
F−1exp(a)=−1λ∗log(1−a)$F^{-1}_{exp}(a) = -\frac{1}{\lambda}*log(1-a)$Fexp−1​(a)=−λ1​∗log(1−a)
具体的映射关系可以看下图(a)，我们从y轴0-1的均匀分布样本（绿色）映射得到了服从指数分布的样本（红色）。

我们写一点代码来看看效果,最后绘制出来的直方图可以看出来就是exp分布的图，见上图(b)，可以看到随着采样数量的变多，概率直方图和真实的CDF就越接近：

def sampleExp(Lambda = 2,maxCnt = 50000):
    ys = []
    standardXaxis = []
    standardExp = []
    for i in range(maxCnt):
        u = np.random.random()
        y = -1/Lambda*np.log(1-u) #F-1(X)
        ys.append(y)
    for i in range(1000):
        t = Lambda * np.exp(-Lambda*i/100)
        standardXaxis.append(i/100)
        standardExp.append(t)
    plt.plot(standardXaxis,standardExp,'r')
    plt.hist(ys,1000,normed=True)
    plt.show()

Rejective Sampling

我们在学习随机模拟的时候通常会讲到用采样的方法来计算π$\pi$π值，也就是在一个1×1的范围内随机采样一个点，如果它到原点的距离小于1,则说明它在1/4圆内，则接受它，最后通过接受的占比来计算1/4圆形的面积，从而根据公式反算出预估的π$\pi$π值，随着采样点的增多，最后的结果πˆ$\hat{\pi}$π^会越精准。

上面这个例子里说明一个问题，我们想求一个空间里均匀分布的集合面积，可以尝试在更大范围内按照均匀分布随机采样，如果采样点在集合中，则接受，否则拒绝。最后的接受概率就是集合在‘更大范围’的面积占比。

当我们重新回过头来看想要sample出来的样本服从某一个分布p，其实就是希望样本在其概率密度函数p(x)$p(x)$p(x)高的地方出现得更多，所以一个直觉的想法，我们从均匀分布随机生成一个样本xi$x_i$xi​,按照一个正比于p(xi)$p(x_i)$p(xi​)的概率接受这个样本，也就是说虽然是从均匀分布随机采样，但留下的样本更有可能是p(x)$p(x)$p(x)高的样本。

这样的思路很自然，但是否是对的呢。其实这就是Rejective Sampling的基本思想，我们先看一个很intuitive的图

假设目标分布的pdf最高点是1.5,有三个点它们的pdf值分别是
p(x1)p(x2)p(x3)=1.5;=0.5;=0.3;$\begin{aligned}p(x_1) &= 1.5;\\p(x_2) &= 0.5;\\p(x_3) &= 0.3;\end{aligned}$p(x1​)p(x2​)p(x3​)​=1.5;=0.5;=0.3;​
因为我们从x轴上是按均匀分布随机采样的，所以采样到三个点的概率都一样，也就是
q(x1)=q(x2)=q(x3)$q(x_1)=q(x_2)=q(x_3)$q(x1​)=q(x2​)=q(x3​)
接下来需要决定每个点的接受概率acc(xi)$acc(x_i)$acc(xi​)，它应该正比于p(xi)$p(x_i)$p(xi​)，当然因为是概率值也需要小于等于1.
我们可以画一根y=2$y=2$y=2的直线，因为整个概率密度函数都在这根直线下，我们设定
acc(xi)=p(xi)2;所以acc(x1)=0.75;acc(x2)=0.25;acc(x3)=0.15;$acc(x_i) = \frac{p(x_i)}{2};\\所以acc(x_1) = 0.75;acc(x_2) = 0.25;acc(x_3) = 0.15;$acc(xi​)=2p(xi​)​;所以acc(x1​)=0.75;acc(x2​)=0.25;acc(x3​)=0.15;
我们要做的就是生成一个0-1的随机数xi$x_i$xi​，如果它小于接受概率acc(xi)$acc(x_i)$acc(xi​)，则留下这个样本。因为acc∝p$acc \propto p$acc∝p，所以可以看到因为p(x1)$p(x_1)$p(x1​)是p(x2)$p(x_2)$p(x2​)的3倍，所以acc(x1)=3acc(x2)$acc(x_1)=3acc(x_2)$acc(x1​)=3acc(x2​)。同样采集100次，最后留下来的样本数期望也是3倍。这根本就是概率分布的定义!

我们将这个过程更加形式化一点，我们我们又需要采样的概率密度函数p(x)$p(x)$p(x)，但实际情况我们很有可能只能计算出p˜(x)$\tilde{p}(x)$p~​(x),有p(x)=p˜(x)Zp$p(x) = \frac{\tilde{p}(x)}{Z_p}$p(x)=Zp​p~​(x)​。我们需要找一个可以很方便进行采样的分布函数q(x)$q(x)$q(x)并使
cq(x)≥p˜(x)$cq(x) \ge \tilde{p}(x)$cq(x)≥p~​(x)
其中c是需要选择的一个常数。然后我们从q$q$q分布中随机采样一个样本xi$x_i$xi​,并以
acc(xi)=p˜(xi)cq(xi)$acc(x_i) = \frac{\tilde{p}(x_i)}{cq(x_i)}$acc(xi​)=cq(xi​)p~​(xi​)​
的概率决定是否接受这个样本。重复这个过程就是「拒绝采样」算法了。

在上面的例子我们选择的q分布是均匀分布，所以从图像上看其pdf是直线，但实际上cq(x)$cq(x)$cq(x)和p˜(x)$\tilde{p}(x)$p~​(x)越接近，采样效率越高，因为其接受概率也越高：

Importance Sampling

上面描述了两种从另一个分布获取指定分布的采样样本的算法，对于1.在实际工作中，一般来说我们需要sample的分布都及其复杂，不太可能求解出它的反函数，但p(x)$p(x)$p(x)的值也许还是可以计算的。对于2.找到一个合适的cq(x)$cq(x)$cq(x)往往很困难，接受概率有可能会很低。
那我们回过头来看我们sample的目的：其实是想求得E[f(x)],x∼p${E}[f(x)],x\sim p$E[f(x)],x∼p,也就是
E[f(x)]=∫xf(x)p(x)dx${E}[f(x)] = \int_x f(x)p(x) dx$E[f(x)]=∫x​f(x)p(x)dx
如果符合p(x)分布的样本不太好生成，我们可以引入另一个分布q(x)$q(x)$q(x)，可以很方便地生成样本。使得
∫xf(x)p(x)dxwhere  g(x)=∫xf(x)p(x)q(x)q(x)dx=∫xg(x)q(x)dx=f(x)p(x)q(x)=f(x)w(x)$\begin{aligned}\int_x f(x)p(x) dx &= \int_x f(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x) dx\\&= \int_x g(x)q(x) dx\\where\ \ g(x) &= f(x)\frac{p(x)}{q(x)} = f(x)w(x)\end{aligned}$∫x​f(x)p(x)dxwhere  g(x)​=∫x​f(x)q(x)p(x)​q(x)dx=∫x​g(x)q(x)dx=f(x)q(x)p(x)​=f(x)w(x)​
我们将问题转化为了求g(x)$g(x)$g(x)在q(x)$q(x)$q(x)分布下的期望！！！
我们称其中的w(x)=p(x)q(x)$w(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$w(x)=q(x)p(x)​ 叫做Importance Weight.

###Importance Sample 解决的问题
首先当然是我们本来没办法sample from p，这个是我们看到的，IS将之转化为了从q分布进行采样；同时IS有时候还可以改进原来的sample，比如说:

可以看到如果我们直接从p进行采样，而实际上这些样本对应的f(x)$f(x)$f(x)都很小，采样数量有限的情况下很有可能都无法获得f(x)$f(x)$f(x)值较大的样本，这样评估出来的期望偏差会较大；

而如果我们找到一个q$q$q分布，使得它能在f(x)∗p(x)$f(x)*p(x)$f(x)∗p(x)较大的地方采集到样本，则能更好地逼近[Ef(x)]$[{E}f(x)]$[Ef(x)]，因为有Importance Weight控制其比重，所以也不会导致结果出现过大偏差。

所以选择一个好的q也能帮助你sample出来的效率更高，要使得f(x)p(x)$f(x)p(x)$f(x)p(x)较大的地方能被sample出来。

无法直接求得p(x)的情况

上面我们假设g(x)$g(x)$g(x)和q(x)$q(x)$q(x)都可以比较方便地计算，但有些时候我们这个其实是很困难的，更常见的情况市我们能够比较方便地计算p˜(x)$\tilde{p}(x)$p~​(x)和q˜(x)$\tilde{q}(x)$q~​(x)
p(x)=p˜(x)Zpq(x)=q˜(x)Zq$p(x) = \frac{\tilde{p}(x)}{Z_p}\\q(x) = \frac{\tilde{q}(x)}{Z_q}$p(x)=Zp​p~​(x)​q(x)=Zq​q~​(x)​
其中Zp/q$Z_{p/q}$Zp/q​是一个标准化项（常数），使得p˜(x)$\tilde{p}(x)$p~​(x)或者p˜(x)$\tilde{p}(x)$p~​(x)等比例变化为一个概率分布，你可以理解为softmax里面那个除数。也就是说
Zp=∫xp˜(x)dxZq=∫xq˜(x)dx$Z_p = \int_x \tilde{p}(x)dx\\Z_q = \int_x \tilde{q}(x)dx$Zp​=∫x​p~​(x)dxZq​=∫x​q~​(x)dx
这种情况下我们的importance sampling是否还能应用呢？
∫xf(x)p(x)dxwhere  g˜(x)=∫xf(x)p(x)q(x)q(x)dx=∫xf(x)p˜(x)/Zpq˜(x)/Zqq(x)dx=ZqZp∫xf(x)p˜(x)q˜(x)q(x)dx=ZqZp∫xg˜(x)q(x)dx=f(x)p˜(x)q˜(x)=f(x)w˜(x)$\begin{aligned}\int_x f(x)p(x) dx &= \int_x f(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x) dx\\&= \int_x f(x)\frac{\tilde{p}(x)/Z_p}{\tilde{q}(x)/Z_q}q(x) dx\\&= \frac{Z_q}{Z_p}\int_x f(x)\frac{\tilde{p}(x)}{\tilde{q}(x)}q(x) dx\\&= \frac{Z_q}{Z_p}\int_x \tilde{g}(x)q(x) dx\\where\ \ \tilde{g}(x) &= f(x)\frac{\tilde{p}(x)}{\tilde{q}(x)} = f(x) \tilde{w}(x)\end{aligned}$∫x​f(x)p(x)dxwhere  g~​(x)​=∫x​f(x)q(x)p(x)​q(x)dx=∫x​f(x)q~​(x)/Zq​p~​(x)/Zp​​q(x)dx=Zp​Zq​​∫x​f(x)q~​(x)p~​(x)​q(x)dx=Zp​Zq​​∫x​g~​(x)q(x)dx=f(x)q~​(x)p~​(x)​=f(x)w~(x)​而ZqZp$\frac{Z_q}{Z_p}$Zp​Zq​​我们直接计算并不太好计算，而它的倒数：
ZpZq=1Zq∫xp˜(x)dx而Zq=q˜(x)/q(x)所以ZpZq=∫xp˜(x)q˜(x)q(x)dx=∫xw˜(x)q(x)dx$\frac{Z_p}{Z_q} = \frac{1}{Z_q}\int_x \tilde{p}(x)dx\\而Z_q = \tilde{q}(x)/q(x)\\所以\frac{Z_p}{Z_q} = \int_x \frac{\tilde{p}(x)}{\tilde{q}(x)}q(x)dx = \int_x\tilde{w}(x) q(x)dx$Zq​Zp​​=Zq​1​∫x​p~​(x)dx而Zq​=q~​(x)/q(x)所以Zq​Zp​​=∫x​q~​(x)p~​(x)​q(x)dx=∫x​w~(x)q(x)dx
因为我们家设能很方便地从q采样，所以上式其实又被转化成了一个蒙特卡洛可解的问题，也就是
ZpZq=1m∑mi=1w˜(xi).   xi∼q$\frac{Z_p}{Z_q} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \tilde{w}(x_i).\ \ \ x_i \sim q$Zq​Zp​​=m1​i=1∑m​w~(xi​).   xi​∼q
最终最终，原来的蒙特卡洛问题变成了：
Ef(x)=∑mi=1wˆ(xi)f(xi).xi∼q其中wˆ(xi)=w˜(xi)∑mj=1w˜(xj)${E}f(x) = \sum_{i=1}^m\hat{w}(x_i)f(x_i).x_i \sim q\\其中\hat{w}(x_i) = \frac{\tilde{w}(x_i)}{\sum_{j=1}^m \tilde{w}(x_j)}$Ef(x)=i=1∑m​w^(xi​)f(xi​).xi​∼q其中w^(xi​)=∑j=1m​w~(xj​)w~(xi​)​
所以我们完全不用知道q(x)确切的计算值，就可以近似地从中得到在q分布下f(x)$f(x)$f(x)的取值！！amazing！

Importance Sampling在深度学习里面的应用

在深度学习特别是NLP的Language Model中，训练的时候最后一层往往会使用softmax函数并计算相应的梯度。

而我们知道softmax函数的表达式是：
P(yi)=softmax(xTwi)=exTwiZZ=∑∣V∣j=1exTwj$P(y_i) = softmax(x^Tw_i) = \frac{e^{x^Tw_i}}{Z}\\Z = \sum_{j=1}^{|V|}e^{x^Tw_j}$P(yi​)=softmax(xTwi​)=ZexTwi​​Z=j=1∑∣V∣​exTwj​
要知道在LM中m的大小是词汇的数量决定的，在一些巨大的模型里可能有几十万个词，也就意味着计算Z的代价十分巨大。

而我们在训练的时候无非是想对softmax的结果进行求导，也就是说
Δθ(logP(yi))=Δθ(xTwi)−∑y′∈VP(y′)Δθ(xTw′)$\Delta_{\theta}(logP(y_i)) = \Delta_{\theta}(x^Tw_i)-\sum_{y&#x27;\in V}P(y&#x27;)\Delta_{\theta}(x^Tw&#x27;)$Δθ​(logP(yi​))=Δθ​(xTwi​)−y′∈V∑​P(y′)Δθ​(xTw′)

后面那一块，我们好像看到了熟悉的东西，没错这个形式就是为采样量身定做似的。
∑y′∈VP(y′)Δθ(xTw′)=EP[Δθ(xTw′)]$\sum_{y&#x27;\in V}P(y&#x27;)\Delta_{\theta}(x^Tw&#x27;) = {E}_P[\Delta_{\theta}(x^Tw&#x27;)]$y′∈V∑​P(y′)Δθ​(xTw′)=EP​[Δθ​(xTw′)]
经典的蒙特卡洛方法就可以派上用途了，与其枚举所有的词，我们只需要从V里sample出一些样本词，就可以近似地逼近结果了。

同时直接从P$P$P中sample也不可取的，而且计算P$P$P是非常耗时的事情（因为需要计算Z），我们一般只能计算P˜(y)$\tilde{P}(y)$P~(y)，而且直接从P$P$P中sample也不可取，所以我们选择另一个分布Q$Q$Q进行Importance Sample即可。

一般来说可能选择的Q$Q$Q分布是简单一些的n−gram$n-gram$n−gram模型。下面是论文中的算法伪代码，基本上是比较标准的流程（论文图片的符号和上面的描述稍有出入，理解一下过程即可）：

##References
【1】mathematicalmonk’s machine learning course on y2b. machine learing
【2】Pattern Recognition And Machine Learning
【3】Adaptive Importance Sampling to Accelerate Training
of a Neural Probabilistic Language Model.Yoshua Bengio and Jean-Sébastien Senécal.