为什么约分后进行带余数除法余数会不同？

公众号讲除法的内容比较少，原因是除法需要乘法的基础，即便讲了除法，实际情况中，如果孩子乘法基础不好，概念没有搞透，那么学除法的时候仍然会懵懵懂懂，看似会了，到了题目中会出现千奇百怪的错误。

家长也一样，讲除法会用到乘法的底层逻辑，我讲123，你可能其中两点都似懂非懂，那么接下去整个逻辑结构你都很难帮助孩子构建出来。

不过今天我还是尝试着把这个很普遍的问题写成文章，对于上过数学微课的家长来讲，拾级而上，寻根溯源，很容易理解，对于没有上过微课的家长，可以查看公众号之前有关于乘法的文章，你可以在公众号输入：“计算合集”或者“乘法”，查阅相关文章。

与乘法紧密相关的，带余数除法就是其中之一，无论班级群里还是交流群里问的家长特别多，我就把这个问题单独拿出来讲一讲。

你如果看完文章懂了怎么回事，回去辅导孩子，还是需要扎扎实实，从乘法练起，仅就乘法的概念，以及相关的各种情景关系，就值得你花4-5个月的时间去彻底弄清楚，那么后面，当你遇到各种题型时，才能随手拈来，拿起概念原理就能讲，孩子经过系统训练后，也能很快掌握窍门在哪里。

下面让我们先来看看这个问题：

（1）25/4=6......1

（2）250/40=6......10

（3）250/40

         =（25*10）/（4*10）

         =25*10/4/10

         =25/4

请仔细看以上三个计算，不用我说，你就已经看出问题了。

没错，令家长小朋友困惑的地方就在于，明明按照乘除法混合运算的法则，25/40就等于25/4，那么为什么这两个算式算出来的余数不同呢？

这个问题首先在于，要搞清楚余数是什么？也就是要从除法的原理，结构上去讲。让我们先来看看数轴上乘除法的一种情景关系是如何的：

你可以看到无论是乘法还是除法，余下的1实际上都是整体25里的一个部分，这个部分是时刻准备着再分配，只是现在无法分配，被剩下来了，或者换句话讲——

25去掉1以后，就能够被4或6整除

从第二根数轴来看，我们把除法用减法来理解，25减去一个4，再减去一个4......一直到最后不能再减去4了，所以余下了1。

有了这个前提，再来看第二张图，我们可以构建一个“包含除”的情景，25样东西，4个4个分，可以分成几组？余下多少呢？

从图2的第一张图可以看到，25样东西，4个一组分，可以分成6组，余下1。

我们可以把这里的6个4，用乘法算式简写为：4*6

【特别说明】有关于乘法中的两个因数的位置，过去我们的教学6个4是用4*6来表示，强调乘数和被乘数，现在的教纲去掉了乘除被乘数概念，改为两个因数，直接让孩子理解交换律，实际上被许多数学教育家诟病，家长请按照学校老师的要求，不同学校可能会有不同做法，此处我沿用老习惯，6个4用4*6来表示）

那么250/4就可以用图2里面的第二张图来表示，相当于250分成了十份，每一份里都包含了一个4*6 1。

你也可以理解为250样东西40个40个分的话，我可以把250先分成10份，每一份都按照4个4个分，看能形成几组，最后把每一组里面的4都汇总一下就变成40了。

根据这样的原理，10个4*6，就变成40*6了，商还是6，没问题。但是余数呢？余数是没有经历分配的“部分”，因此250分成的10份里，就余下了10个1，这10个1汇总起来就变成了余数10，由于合并起来后，除数实际上是40，这10个1是无法再分配的，就余下来了。

现在你明白，最开头我写的（1）（2）（3）三个计算之间的关系是怎么来的吧～

上面举例的是包含除的情景，让我们再看一下平均分配的除法情景关系又会是如何的？

假设我们要把25样东西平均分给4个人，每个人多少呢？此时我们就像发牌一样，一个一个挨个儿分配过去，你看到上图蓝色虚线框内的就是分配完成的部分，每个人分配到了6样东西，看成这里有4个6，而余下的红色的就是余数1。

让我们想象一下（你或许也可以画一画图），现在有250样东西，要平均分配给40个人，根据乘法对应关系，你可以这样思考，把40个人群分成10组，每组4人，把整体250也分成10组，每组25样东西，这样原先250与40对应，现在25与4对应，没毛病～

这样你就能把上面的图3拷贝复制，变成10张这样的图，你会发现什么呢，余下了10个1，分配的人数则不是4人，已经是40人了，所以这10个1也不能再分配给40个人了。

现在无论是包含除，还是平均分配，你会发现，在这个问题中，余数始终是那个不能被分配的被除数的一部分。

我以前看到班级群有家长提问，学校老师教孩子，竖式算出来，然后余数加个0，这种方法是很不可取的，因为假如被除数除数不是扩大10倍呢，而是2倍呢？

25/4=6......1

50/8=6......2

余数就扩大了2倍，因此余数不是后面加个0，而是要让孩子弄懂余数变化是随着被除数除数变化而变化的，这里的影响因素有很多：

被除数和除数要做同样的扩大缩小，假如仅仅是被除数扩大，除数不变，那么就可能最后连余数也没有了，因为被除数不断扩大的同时，余数在积累，当除数不变的情况下，余数积累到一定程度，就可以再分配，那么就可能被分配完，比如：

25/4=6......1

50/4=12......2

75/4=18......3

100/4=25

你看上面被除数分别扩大了2倍，3倍，4倍，除数不变。

余数则相应做积累，变成2个1，3个1，4个1，当余数积累到4个1的时候，由于除数依然是4，而实际上余数是被除数的一部分，它时刻准备着被分配，因此这4个1就被分配掉了，变成了可以整数。

看到这里，你应该能够想象得到，我为什么一直很强调数学的底层逻辑很重要，因为底层逻辑可以帮助孩子抽丝剥茧，层层深入地分析概念原理，打通各个环节的知识，使之被活用到具体问题的解决过程中去，底层逻辑的魅力就在于，无论你外部如何变化，我都能用它解释清楚。

也就是说，如果孩子学习的是底层逻辑，你日常辅导讲解的思路也是每每从底层逻辑入手，那么长久训练之下，他们就能处变不惊，遇见问题都可以抽丝剥茧地来分析，他们也不需要记忆很多套路，底层逻辑可以帮助他们找到各类问题的解决方案。

当然家长们要理解一点，我用一篇文章写清楚一个小小的问题，你或许看一遍就恍然大悟，等辅导孩子的时候又会忘记，你要回头再看，看过几遍，尝试跟孩子讲过几次后，你加深了印象，你还是一个经历过初等教育高等教育的成年人，都还需要时日消化，那么对于孩子来讲，就更加如此了，肯定不可能把这篇文章从头到位讲一遍，孩子就懂了，那样的话你的期望值实在太高了，设置不合理；你需要有所准备的是，对于每个孩子来讲，他们的底层逻辑掌握程度都不同，你需要一步一步帮他们搭建，今天讲到带余数除法，实则牵涉到了乘法结构，除法含义，那么前面任何一个小毛病都有可能造成他理解上的偏差，滞留，所以你还是要回到细节处去一点点揪出问题，逐个逐个解决，思维的训练是需要时日的，但是好处是，只要你细水长流，那么它们就会发挥作用，日积跬步，是可以翻越群山攀登高峰的。