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“ 在前面的学习中，我们讲解了关于常见的一些尺规作图的方法，除了五种常见的作图方法之外，我们也给出了有关圆中的一些复杂问题的作图方法，在这一节中，我们将在作图方法之上继续与它相关的最值问题 ”。   方法归纳： 在前面的尺规作图讲解中，我已经将上述几种情况给大家进行了介绍，下面我们主要回归一下作图方法，在定边定角模型中，我们首先要找到定边（即为隐形中的一条定弦）其次，我们要先弄清楚定角在哪里，是多少度，一般分两种情况： 第一种：定角为锐角或者直角，我们只需要找到一个特殊角，然后作满足条件的特殊三角形的外接圆，而定弦所对的优弧上的每一个点都符合题意。如果找不到特殊点（或者特殊位置），我们可将定角看成圆周角，知道圆周角我们联想圆心角，即为圆周角的2倍，然后作AB的垂直平分线，在平分线上利用尺规作图找到符合条件的点。 第二种，定角为钝角，我们要先计算出他的补角（此时为锐角），然后按照第一种方法找到符合条件一个特殊的补角，在作外接圆，而劣弧上的点就是符合题意的点。或者通过补角计算圆心角，找圆心确定半径画圆，即可 导学内容 在这一节中，我们首先给大家讲解，这类问题的解决方法，在后边的学习过程中，我们逐步给大家渗透一些技巧，供大家借鉴学习。 1 例题讲解 例1.如图，在△ABC中，AB=4,∠ACB=90°， （1）求△ABC的最大面积。 （2）求AC+BC的最大值。 题目分析：本题中有两问，我们首先来研究第一问： （1）在条件中，我们可以知道AB的长为4, 如果以AB为底，那么底是确定的，即为定长，现在要求△ABC的面积的最大值，我们只需要让AB边上的高最大即可，所以可以过点C作CD⊥AB于D（如下图），则当CD最大时，△ABC的面积最大，所以我们将这类问题转化为求高CD的最大值问题。 在前面的学习中，我们已经知道，当直角三角形的斜边为定值时，斜边上的中线为定值,且等于斜边的一半，所以我们可以作出AB边上的中线CE(E为AB的中点),如下图： 通过以上步骤，我们可以知道△CED为直角三角形，CE是斜边，根据斜边大于直角边，我们可以知道CD＜CE=2, 而点C为动点，当点C在AB的垂直平分线上时，即△ABC为等腰直角三角形时，CD与CE重合，此时CE=CD, 故我们可以得到CD≤CE=2.这样我们就找到了高CD的最大值，从而可以计算出△ABC的最大面积为4×2×0.5=4. （2） 接下来，我们继续研究第二问，需要求解AC+BC的最大值为多少？ 在前面的学习中，我们已经学习了要求两条线段的和时，我们可以通过截长补短法来解决，这种方法可以将两条线段和的问题转化为一条线段的长度问题。下面我按照这个思路给大家分析一下。 首先，我们延长AB到B',使得CB'=CB,连接BB',如下图所示。 通过恰当的作辅助线，我们可以知道AB'=AC+BC，即将求AC+BC和的问题转化为求AB'的长问题。根据上图我们可以知道∠AB'B=45°，而AB=4,所以我们可以快速定位到定边定角模型，点B'的轨迹是以AB为弦，圆心角∠AOB=90°的优弧。所以我们就可以快速画出点B'的轨迹。如下图所示：
由上图可知，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，OA=OB=2倍根号2，即⊙O的半径为2倍根号2，而AB'为⊙O的一条弦，我们知道，在圆中直径是最长的弦，所以当点C与O重合时,AB'最长，即AC+BC的和最大。此时三角形ABC恰好是以点C为顶点的等腰三角形。
方法总结:定边定角模型中，以动点为顶点的三角形是等腰三角形时，三角形的面积最大，周长最大。这一个结论很重要，需要每个同学理解并牢记。 2 练习 1.如图，已知线段AB=4,∠ACB=45°，求△ABC的最大面积和最大周长。
2.如图，已知线段AB=4,∠ACB=30°，求△ABC的最大面积和最大周长。
3.如图，已知线段AB=4,∠ACB=120°，求△ABC的最大面积和最大周长。
4.陕西省2019年中考第25题 （1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离； 问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）
5.中考压轴题 如图1所示，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AB、AD的中点． 如图2所示，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），射线BE、DF相交于点P．菁优网（1）求证：△ABE≌△ADF； （2）如图2，在△AEF旋转的过程中，若射线BE恰好通过AD的中点H，求PF的长； （3）如图3，若将△AEF从图1的位置旋转至AE⊥BE，试求点P在旋转过程中的运动路线长
第三问答案：
6.综合题 如图，已知四边形ABCD是正方形AB=2倍根号2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG． （1）求证：DE=EF； （2）探究CE+CG的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
7.2019年湖北武汉中考 如图，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______
8．2017年陕西中考数学25题 问题提出 （1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为________； 问题探究 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交弧AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）
通过本节的学习，你对定边定角模型了解了吗?在后面的学习中，我们还将继续给大家讲解定边角定模型的综合应用，在上面额练习中，我预留了几道与定边定角有关的中考压轴题，开动你的脑筋，不妨先来试一试吧！预祝你学习愉快。 学习贵在坚持，持之以恒，从一而终，保持一颗积极向上的心态，努力进取，要记住，天道酬勤，老天不会亏待努力的人。you，加油啦！ 关注陕西中考数学研究，关注“龙哥与数学”，你就是学霸。 如果你觉得还不错，给个赞哦! 钟意作者（O(∩_∩)O哈哈~） |
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