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2020年4月11日，被称为普林斯顿大学数学系的灵魂，知名数学家约翰·康威（John H.Conway）因新冠肺炎去世，他是在有限群研究中一位卓越的理论学家，世界第一流的纽结理论学家之一，他写过10本以上的书和超过150篇发展在杂志上的有关多种数学课题方面的文章，是数学界公认的天才数学家，他在数论、博弈论、编码理论，以及包括了'超实数'的新数系的创造等方面做出了重要的贡献，广为人知的是他作为'生命游戏'的发明人的身份，这里所说的'生命游戏'是指单细胞'生命'的一个计算机模拟，这个'生命'由简单的规则支配但却可以产生出复杂的行为， 约翰·康威1937年12月26日出生在英格兰的利物浦，在年仅4岁时就能心算整数幂，在11岁的时候就立志要当剑桥大学的一名数学家，并且因为学习成绩十分优异而被老师同学称为'教授'，在完成高中学业以后，他获得了剑桥大学的奖学金，1959年，在剑桥大学获得数学学士学位，他的博士生毕业论文通过证明每个正整数都可以写为37个五次幂的整数之和，解答了经典数论问题， 而后他在对几何谜、纽结理论、有限群和游戏理论的研究中获得了数学界无与伦比的肯定，他发明的'生命游戏'使大量读者和玩家接触到细胞自动化控制的研究和数学游戏，通过引入虚数的概念，他重新定义了数学家对数字和游戏的理解，他所发现的'康威数组'和完成有限群分类的研究，解决了群论中悬而未决的问题，他也通过提问和著述的方式，对表面填充、点阵、编码和纽结的许多数学领域做出了突出贡献，1981年，他入选了在世界享有盛誉的英国皇家协会，1987年，国际电子工程协会（IEEE）授予他'杰出论文奖'，伦敦数学协会授予他'波利亚奖章'，2000年，美国数学协会授予他'利诺·斯蒂尔奖'， 为什么在他少年时数学对他有如此强大的吸引力呢？在接受纽约《时代周刊》的专访时他说道：'真正能够让我兴奋不已的是事物之间的神秘联系，那是一个由逻辑和各种复杂连接构成的精彩世界，十分难以直接触见，我能够看到树木、小猫和人，但是所不能看见的乃是一个无比强大的逻辑世界，或许你可以不相信上帝，但是你不得不相信数学，做数学是我一生的享受，我的一生起起伏伏，但所有的这些实际上从来都与数学无关，数学对我来说是一种镇静剂，如果我的生命达到我的尽头，我最希望是能搞明白魔群是怎么回事，如果有机会在数百年后回到世上，我希望知道，黎曼猜想解决了吗'， 下面是他在剑桥大学的讲座《数学的力量》，约翰·康威在文章中展示了数学中那种几何作图的力量，超越数字和度量的结构，仅通过数学推理就可以使我们来确定、描绘和预测我们生活中的某些结构，看完这篇文章或许会让你对数学有一个更深层次的了解，也或许会让你爱上真正的数学. 我今天要讲的内容，是向诸位介绍数学中一些简单思想的巨大威力，我的做法是，先举出一种在别人看来十分复杂而又难以理解的事物，然后找出一种简单的思想，这样的话，任何一位笨人，对不起，假定各位也在其中，于是也都可以理解这种复杂的事物，这些简单思想具有惊人的力量，同样，这些简单思想也惊人地难以被人发现， 在许多例子中，人类要花上一个世纪甚至更多的时间去寻找这样一种简单思想，最终才会被某个人发现，事实上，人类为了找到一种简单思想有时甚至要花费2000年，例如常有这种情况，希腊人早就在孜孜以求某一种简单思想，而他们始终也未能找到，人们常会错误地以为有些人的思想，比如说爱因斯坦的思想，一定非常复杂，其实不然，真正令人震惊的思想总是十分简单，只是简单的思想总是隐藏很深，难以捉摸，人们不容易想到它们罢了，简单思想所回答的问题，是以前没有人想到是问题的一个问题， 例如大地究竟是一个球还是一个平面这个问题，古代人只是坐在那里冥思苦想：'唔，让我想想，是球呢还是平面？'，错了，我想，没有一个人可以靠冥思苦想而'想到'大地是球形，必得有人注意到天上的星星好似在西方沉落，过12小时以后再从东方升起这种现象，从而产生万物皆'周而复始'的思想，这种思想当然是很难同大地是平面的旧观念调和的，另一种十分有趣的思想是'上'这个概念， '上'是绝对的吗？ 在亚里士多德的物理学中曾是绝对的，直到出现了牛顿物理学，人们才知道'上'是一个本地概念，原来，一个人的'上'可以使另一个人的'下'（比如前一个人在剑桥大学，而后一个人在澳大利亚），爱因斯坦发现相对论，其实就来自对时间属性的类似看法，一个人的时间可以是另一个人的'杯酒人生'，好了，让我们回到今天要讲的主题上来，我要向诸位介绍的是同正方形、三角形和纽结有关的几种简单思想. 正方形 先来看一个老定理的一种新的证明方法，该定理涉及的问题是：一个正方形的对角线与边长是否具有可公度性？改用现代数学术语，这个问题可以表述为：2的平方根是否可以表示为两个整数之比？正是这个问题引出了一项伟大发现，导致毕达哥拉斯发现了无理数，在下图，若m和n都是整数，那么两个n×n的灰色正方形的总面积是否能够等于一个m×m白色正方形的面积呢？ 这个问题还可以换一种提问方式：能否有两个边长同为一个整数n的正方形，两者面积之和等于边长为另一个整数m的正方形的面积？边长为12的正方形差一点就是这两个正方形，因为12×12=144，144+144=288，而恰好17×17=289，17/12=1.41666.....非常接近于=1.41421...两者仅相差千分之二，但是，我们的问题不是问是否有两个整数m和n，两者近似满足m²=2n²，我们想知道的是这个等式是否精确成立， 我们姑且假定这个等式能够成立，若果真如此，那么必然存在着一个满足这个等式的最小整数m，现在就用这个可能有的最小整数m作图， 现在就用这个可能有的最小整数m作图，将问题中的两个边长为整数的灰色小正方形放置在边长为整数的大正方形内，一个放在大正方形的右上角，另一个放在左下角， 在这种场合，大正方形的一部分被两个小正方形两次覆盖，另一部分则完全没有被覆盖，在图中，被两次覆盖的一小块面积用深灰色表示，完全没有被覆盖的两小块面积用白色表示，根据上面所做的假定，大正方形的全部面积应该恰好等于两块灰色小正方形的面积之和，于是，被两次覆盖的那一小块面积就必须要恰好等于完全没有被覆盖的那两小块面积之和，那么，这3小块面积各自是多大呢？ 深灰色小块是一个正方形，它的边长是一个整数2n-m，两个白色部分各自也都是正方形，两者的边长均为m-n，按照前面的假定，m是其平方m²等于一个整数平方的二倍的可能有的最小整数，可是，在这里我们却发现有一个更小的整数（2n-m）竟然也具有这种性质，这就证明这个问题其实没有一个最小解，进一步，这个问题如果有解得话，这些解中必定有一个为最小，于是我们得出结论，这个问题根本没有解， 从这个结果立即就可以引出一个非常重要的推论：并非所有的实数都可以表示为两个整数之比，上面介绍的这种新的证明方法是我的一位朋友斯坦利·坦内鲍姆发现的，不过，他后来就不再研究数学了. 三角形 取一个三角形，你可以随意给出一个三角形，将它的每一个角都作三等分，也就是把它的每一个内角都划分为大小相等的三个角，延长所有的三等分线，直至他们分别相遇在三点，在这种场合有一个由弗兰克·莫利提出的著名定理，该定理说：由这三点所形成的三角形是等边三角形，无论原始三角形是什么三角形，这个定理都成立， 莫利定理所以著名，是因为它很难加以证明，定理的表述非常简单，然而证明起来却十分困难，莫利猜到这个结果是在1900年，但是过了15年，它才第一次得到证明，然而我在我的朋友彼得·多伊尔的协助下找到了一种简单的证明方法，下面就是我的证明： 首先，你得告诉我你的原始三角形的三个内角的大小，比如说是A，B和C，当然，这三个角相加必须等于180度，下面就让我来证明，我从一个具有一定边长的等边三角形出发，在它的周围另外构建6个三角形，要求这6个三角形拼合起来恰好能够得到你给出的那个三角形的三个角A，B和C，这样，只要我再为这个等边三角形选择了合适的边长，我就可以通过这种作图得到你给出的那个三角形， 这种作图方法将要证明，如果你把你的那个三角形的每一个角三等分，那么你就会发现在原始三角形中心所形成的那个三角形正好就是我所选择的那个等边三角形，上图绘出的就是我在我选择的等边三角形周围所构建的6个三角形拼块，这个图就像把我们在上页画出的那个三角形剪切开来的样子，我们当然也可以把这些拼块拼合起来而得到那个原始三角形， 为了理解我的证明，你得把他们看成是6个新的三角形拼块，它们是从我选择的等边三角形出发，按照你提供的A，B和C三个角大小，需要我们加以确定的6个三角形，需要记住，这里是在对莫利定理进行证明，上面所给出图形是我们的目标，而不是出发点，为了构建这6个新三角形，我们先来确定它们应该具有的形状，然后再确定它们应该具有的大小， 为了确定这6个三角形的形状，我们如上图所示先来选定它们内角的大小，我们定义为α=A/3，β=B/3和γ=C/3，这里还要引入几个表示角的大小的符号：对于任意角θ，我们定义θ﹢表示θ+60和θ﹢﹢表示θ+120，利用这种角符号，例如，等边三角形三个内角（都等于60度），每一个都就可以记作O﹢（你可以检查一下每个三角形的三个内角之和是否都等于180度），接着，我们来选定同这个等边三角形相邻接的每一个三角形的大小，显然，我们只需选择他们一个边长等于等边三角形的边长就可以了，在上面的图中，这些相等边长用粗黑线表示， 再下来，我们来选定剩下的三个钝角三角形的大小，这里，我只告诉你我是怎样选定上图右侧那个钝角三角形的，另外两个钝角三角形你可以用同样的方法确定，如上图所示，我们从这个钝角三角形的钝角顶点引出两条直线，它们与对面的长边相交的角度均为β﹢（有点像引垂线），然后再选定这个三角形的大小，使得这两根直线的长度恰好等于中心等边三角形的边长， 到此，我们已经确定了所有这些三角形的大小，我要指出的是，上图中的两个灰色三角形彼此全等，互为映像，这两个三角形全等是不难看出的，因为两个三角形有两个相等的角（图中的α和β﹢），还有一条相等的边（图中粗黑线边，两者长度均等于等边三角形的边长），重复上述论证6次，我们就证明了在如此作图所得到的图形（见下图）上所有相邻的边长都彼此相等的， 因此，只要我们确信围绕等边三角形任何一个顶点的四个角之和等于360度，就可以保证我们所确定的这6个三角形能够一点不差地拼合在我起初所选择的等边三角形的周围，围绕等边三角形任何一个顶点的四个角之和，其典型表示是α﹢＋β﹢﹢＋γ﹢+0﹢，这里一共有5个上标'＋'，按照我们前面的符号约定总共代表300度，加上α+β+γ，正好是360度， 这就是说，把这7个小三角形拼合起来，构成的正是具有你先前给出三个内角大小的一个三角形，而对于这个三角形莫利定理成立，这就证明了莫利定理对于你随意给出的一个三角形成立，自然，它对于任意三角形也成立. 纽结 最后，我要向诸位介绍一点纽结理论，同时也谈一下我多少年前在利物浦上中学时产生的一个简单思想，首先，也许有人会说道，打绳结，那有什么值得研究的？纽结不像是一个数学课题，然而，说到纽结，马上就要回答一下不好回答的问题：'究竟有没有纽结？'， 这个问题也可以改成如下提问：这个扭结能否被解开？（顺便提到，传统的纽结，是要把两个自由端连接起来的那类纽结，整条绳索是一个闭合绳圈）没有人能够解开这个纽结，并不意味着你一定不能打出这个纽结，这也许只表明人们实在是够笨的，不过你得知道，确实有一些简单思想，在长达2000年的时间里也没有人想到过，直到爱因斯坦出现，才抓住了它们， 现在让我们来摆弄一条绳索，把它纽过来穿过去改变构形，这时可以有3种基本操作，它们被称为'瑞德迈斯特移步'，是为了纪念德国的一位几何学教授库尔特·瑞德迈斯特而取的名字，我们这里把这三种移步分别记作R1，R2和R3， 移步R1包括将绳索扭曲成一个圈或者将一个圈解开，而其余不变，移步R2是把一个圈插在相邻的另一段绳索的下面，移步R3是滑移，即移动一段绳索使之从一侧经过另两段绳索的交叉点而来到另一侧，各种各样形式的纽结都可以分解为一系列三种移步的组合，
例如下面左侧是一个纽结，右侧是一个'平凡结'，即没有结的一个绳圈，是否可以通过一系列移步来解开左侧的纽结而得到右侧的平凡结？
你大概会想到，进行一系列移步最终反而会搞得更乱，也许经过100万次移步得到的却是如下结果：
不过也不是没有一种可能，我的运气不错，我进行100万次移步，最终却幸运地解开了这个纽结，你能证明我的说法不对吗？那是很难证明的，我想，不会有谁真的有耐心去反复试100万次看结果如何，于是，我们若要证明存在着一个纽结，我们要做的事情就是必须说明根本不存在可以解开它的移步序列， 我要首先引入一个我称之为纽结分段标注的概念，所谓纽结分段标注，是为能够看见的所有绳索节段都分别指定一个小数字，而且当一个节段被另一个节段交叉覆盖时，为相交点两侧下节段所指定的两个数字，相互之间必须取决于上节段绳索的标注数字有一定的关联，比如说，若上节段的标注是a，而被此上节段交叉的下面绳索两侧下节段的标注分别是b和c,那么，a，b和c三个数必须构成一个算术级数，这就是说，从a到b增加的数字必须要正好就是从b到c增加的数字，
举例说，如果a是13，而b是16，那么最好把c标注为19，那么，这3个数字是怎样关联起来的呢？让我们先来试试能否按照上述要求对纽结进行分段标注，以我们熟悉的三叶纽结为例，围绕这个纽结为绳索的每一个节段指定一个数字，看看我们是否能够保证在绳索的每一个相交点都满足上述分段标注的条件，我们该如何开始呢？
关于算术级数，我们注意到它的第一个特点是它的不变性：把a，b和c三个数分别加上或减去我选定的任何同一个数，它们仍然是算术级数，这样，我就可以先把纽结暴露在外的两个节段先标注为0和1，然后从这种两个数字出发去逐个标注纽结的其他节段，我们将按照这个规则来标注每一个相交点：
看来一切顺利：
糟糕！在逐次标注到最上面那个节段时遇到了麻烦，这个节段应该标注为4，不等于先前的标注1，但是两个标注数字本应该相等，因为4和1标注的是绳索的同一个节段，不过数学方法就有这么大的威力，只要我愿意，我可以下定义：我现在就定于4等于1（数学家把这种等式叫做以3为模数的同余式），这样一来，麻烦就解决了，在纽结最下面那个节段也出现了同样的矛盾，这段绳索被同时标注为3和1，但是，既然已经定义了4等于1，那么自然有3等于0，现在一切都搞妥了，
我们已经完成了对纽结的分段标注，那么，这些标注有什么意义呢？这是一种非常有用的方法，假定有一个已经分段标注过的纽结，现在对它进行三种瑞德迈斯特移步操作，看会出现什么情况，请看下图，我们是否可以对左侧图形进行标注而得到对右侧图形的标注呢？答案是肯定的，对左侧图形所做的任何标注都可以被复制为右侧图形的一种标注，反之亦然，对于头两种瑞德迈斯特移步操作，这是比较清楚的.
对于第三种移步，也许需要确认一下：2（2c-b）-（2c-a）=4c-2b-（2c-a）=2c-（2b-a），我们发现，图形进行三种移步的任何操作都不会搞乱其余的分段标注，任何有效的分段标注，无论对其进行移步操作还是不进行移步操作，都始终是有效的分段标注，这一事实表明，对左侧图形可能进行分段标注的数目恰好等于对右侧图形可能进行分段标注的数目，现在再回到三叶纽结是否可以被解开为平凡结这个问题上来，平凡结只要三种标注：
但是，三叶纽结却至少有四种标注：全部0、全部1和全部2，此外还有一种，因为三叶纽结具有的分段标注的数目与平凡结不同，这样我们就证明了三叶纽结不能被解开，如果三叶纽结与平凡结可以通过一系列瑞德迈斯特移步而互相转化的话，两者就应该具有一样的标注数目，这就证明了确实存在着纽结. 缠结 我会经常玩玩打绳结的小魔术，缠结同纽结有些相似，但是有4个自由绳端，缠结其实同数学也有关系，只是一般人平时没有深想罢了，演示缠结，最好是由站在四角的4位舞蹈者来表演， 其中两位舞者分别手持着一条绳索的两端，另外两位舞者则分别手持着另一条绳索的两端，我们只需通过两种移步就可以变化出各种缠结，这两种移步是'缠绕'和'转圈'，做缠绕时，如下图，站在右侧的两位舞者彼此交换位置，原来站在下侧的舞者从上侧舞者手持的绳索的下面穿过去，我们可以为每一种缠结规定一个数值，并认为'缠绕'改变了缠结的这个值，使之从t改变为t+1（这些数值与前面所说的分段标注无关，你现在应该忘掉标注数字），做转圈时，全部4位舞者都沿着顺时针方向移动位置，转圈将使缠结的值从t改变为-1/t，
下面就来通过移步使缠结发生变化，开始时，缠结如下图所示，假定它的值t=0，
全部明白了吧？那么现在开始移步，
下面的事情请读者自己来做：让舞蹈者回到数值为0的缠结，你只允许进行我前面讲过的两种移步，是缠绕还是转圈，悉听尊便，若你利用算术知识使缠结的值回到了0，那么，这就等于你发现这个缠结其实是一个平凡缠结，这是不是像魔术？ 这是一种非常简单的思想的一个例子，我们懂得一些数学，但是我们以前仅限于把这些算术知识用来处理数字，而不知道也可以把它们用来处理纽结，事实上，纽结理论的这个小分支就是算术，既然发现了这种以前未曾想到的联系，那么，现在我们可以用一个小游戏来结束本文，从t=0出发，做转圈移步，得到了什么？啊，得到了-1/0，这不就是无穷大或者说负无穷大吗？在这个无穷大加上1，会使它变化吗？进行缠绕移步！
妙吧？在无穷大上加1，得到的仍然是无穷大，这就是我们数学家用到的一种非常有力量的思想：在别处学到了什么，马上把它应用于另一个领域，后者原来好似同数学无关，于是想着就有了数学. |
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