再谈根号3是无理数的几何证明

前些天写了一篇关于根号2是无理数的几何证明，阅读量还可以，谢谢大家喜欢。今天进一步谈谈这个问题。

也许有读者会问，根号2是无理数可以通过构建两个正方形重叠来得到证明，那么根号3是否能用相同的方法得到证明呢？答案是肯定的。（这里大家可以先停顿一会儿，思考一下再继续阅读）

好的，见证奇迹的时刻到了！

我们还是先假设根号3为有理数a/b，且a和b均为最小整数，则a²=3b²=b²+b²+b²。从几何意义上来说就是，一个边长为a的正方形面积等于3个边长为b的正方形面积。但由于有3个正方形，所以直接在大正方形里面重叠就不太合适了。这个时候，我们对等式做一个简单的处理。

聪明的你应该已经想到了。从几何意义上来说，这是一个边长为a的等边三角形面积等于3个边长为b的等边三角形面积。

然后，我把三个边长为b的等边三角形放入左边这个边长为a的等边三角形中，如下图所示。

从图中我们可以看到，这里三个边长为2b-a的橙色等边三角形面积等于中间那个没有被覆盖住的边长为2a-3b等边三角形面积。也就是说，这里出现了一组更小的等边三角形等式。

这样的话，根号3就可以表示为(2a-3b)/(2b-a)，由于这里的2a-3b和2b-a是比a和b更小的整数，所以与我们一开始“a和b均为最小整数”的假设矛盾。故根号3为无理数。证明完毕。

本来还有其他的思路，但有点悃了，改天再聊这个话题。

晚安！

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