关于根号2是无理数的几何证明

证明的起点还是假设根号2为有理数p/q（其中的p和q均为整数），则p²=2q²=q²+q²。从几何意义上来说就是，一个边长为p的正方形面积等于2个边长为q的正方形面积。

我们选取其中可能的最小整数边长的正方形。记住这个假设，非常重要。现在，让我们把等式右边两个中等的黄色正方形重叠摆放在大正方形里面，如下图所示。由于大的蓝色正方形与两个中等的黄色正方形的面积相同，因此可以看出，重叠的小的橙色正方形必须与边上的两个较小的未覆盖的蓝色正方形完全相等。也就是说，中间重叠的正方形面积与角落里两个未覆盖的蓝色正方形的面积完全相同。

让我们从图中抽出这些较小的正方形来说明这种关系，如下所示。

显然，这个较小的例子中的正方形也有整数长度的边，因为它们的长度是由之前正方形的整数边长之差所产生的。所以我们找到了一个严格意义上的更小的整数边长的正方形，它是另一个整数边长正方形与其本身之和，这就推翻了我们之前的假设，即原正方形的边长是满足假设的最小整数边长。因此，假设不成立，根号2是无理数。

希望大家喜欢这个几何证明。