模型 | 破解45°的九种常规方法全梳理（优选）

例题赏析

如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，2），点P是直线y=-x-1上的一点，且∠ABP=45°，则点P的坐标为              。

法一：等腰直角三角形三垂直全等

如图①所示：过点A做AB的垂线，使AC=AB，连接BC. 易得△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=45°，则直线BC与直线y=-x-1的交点为P。

遇等腰直角三角形，往往需构造三垂直全等以便改斜归正。因此过直角顶点A作铅垂线（水平线），过锐角顶点B、C作铅垂线（水平线）的垂线，垂足分别为M、N。

• 易证△BMA≅△ANC，

• ∴AN=BM=6，CN=MA=2，⇒点C的坐标为（4，-6），

• 易求直线BC的解析式为：y=-2x+2,

• 联立函数y=-2x+2与y=-x-1⇒点P（3，-4）.

法二：正方形角含半角模型

让小马带大家先熟悉一下正方形角含半角模型:

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°，则EF=BE+DF.

• 证明：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ADE'，

• 则∠EAF=∠E'AF=45°，AE=AE'，

• ∴△AEF≅△AE'F（SAS）,

• ∴EF=E'F=E'D+DF=BE+DF.

在熟悉正方形角含半角结论的基础上，我们再来看下图：

法三：一线三等角相似

法四：角平分线的性质

小马先带大家熟悉一下角平分线的性质，解析如下：

法五：反A字型相似

法六：12345大法

法七：做垂线构造相似

法八：四点共圆

法九：捆绑旋转45°

文章来源：微动图聊数学，作者：天津马腾；如存在文章/图片/音视频使用不当的情况，或来源标注有异议等，请联系编辑微信：ABC-shuxue第一时间处理。