点在不同平面直角坐标系下的坐标转换

1.拟解决问题
如下图所示，
已知O’1在蓝色坐标系XOY的坐标为(x01,y01 )；
已知O’2在蓝色坐标系XOY的坐标为(x02,y02 )；
已知O’1X’1与OX夹角为θ1；
已知O’2X’2与OX夹角为θ2；
将P1点在黑色区域坐标系X1’O1’Y1’下的坐标值(x1’,y1’)转化成蓝色坐标系XOY的坐标值(x1,y1 )；将P2点在黑色区域坐标系X2’O2’Y2’下的坐标值(x2’,y2’)转化成蓝色坐标系XOY的坐标值(x2,y2 )。

图1 坐标系的相对位置关系
2.坐标转换的公式
x1=x1’ * cosθ1 - y1’ * sinθ1 + x01
y1=x1’ * sinθ1 + y1’ * cosθ1 + y01
同理
x2=x2’ * cosθ2 - y2’ * sinθ2 + x02
y2=x2’ * sinθ2 + y2’ * cosθ2 + y02
综上
已知O’在蓝色坐标系XOY的坐标为(x0,y0 )；
已知O’X’与OX夹角为seita；
设将P点在黑色区域坐标系下的坐标值(x’,y’)转化成蓝色坐标系XOY的坐标值(x,y)
坐标的转化公式为：
x=x’ * cosθ - y’ * sinθ + x0
y=x’ * sinθ + y’ * cosθ + y0

3.坐标转换公式的详细求解过程
坐标系转化分为两种情况：

• 先旋转后平移

• 先平移后旋转
  上述两种情况选择的参数不一样
  我们以先旋转后平移为例，说明第2节公式的由来
  1）坐标系旋转
  图2 坐标系的旋转
  将上述黑色区域坐标系X’1O’1Y’1和X’2O’2Y’2分别顺时针旋转θ1，θ2得到红色坐标系X1(星)O1’Y1(星)和X2(星)O2’Y2(星)。
  现以黑色区域坐标系X’1O’1Y’1旋转为例。
  由图2得到，

• P1在坐标系X’1O’1Y’1的坐标值等于P1（星）在坐标系X1(星)O1’Y1(星)的坐标值。

• 在坐标系X1(星)O1’Y1(星)下，P1由P1（星）逆时针旋转θ1得到。

那么现在的问题就是，

2）坐标系平移

图3 坐标系的平移

因此，得到坐标的转化公式为：
x=x’ * cosθ - y’ * sinθ + x0
y=x’ * sinθ + y’ * cosθ + y0