为什么需要建立代数结构？

taotao_2016 2020-04-29

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【编者按：在所有的推理方法中，类比是最令人直觉的，如果说归纳、演绎是映射式的，那么类比则可能是散射、漫射、影射式的，熊老师的这篇文章确有形式化意识或思维的味道！值得回味！】

哦？代数结构？什么是代数结构？拿来干什么的？简单说，就是建立可以描述类比，使得类比成为可以计算的代数结构。

等等，等等，好像不是很清楚哦。

好的。这就需要仔细说了。我们就先来趣味一下，讲讲鸡兔同笼。

网上一直广泛流传，并且持久不衰的笑话题目中间就有鸡兔同笼的解法。

打开微信，稍微一搜索，就看见一大堆。选几个吧。这个是2015年的：

《奥数的思维——《奔跑吧兄弟》包贝尔鸡兔同笼抬腿法，神逻辑刷存在感》里面说：

其实包贝尔的这种算法更简单：假设鸡和兔全部抬起来两只脚，应该少掉35*2=70只脚，鸡都坐着地上了，地上还剩24只脚，24只脚都是兔子的，每只兔子剩两只脚，除以2就是12只兔子，35-12=23只鸡。

注意了，抬腿法！

下面是一位老师的文章（2017年）：

《孩子鸡兔同笼学不会，你一定是少教了他一个重要方法！》

里面说：
鸡兔同笼是我刚开始做老师时教的最不好的一课，也是绝大多数家长教孩子数学时最头疼的一个问题。我当时特别纳闷儿，因为我把这个问题已经讲得非常细致了，先是用正统的假设法教了一遍，后来又用抬腿法教了一遍。假设法效果非常差，提高班的孩子们都一个个用水汪汪地眼睛看着你，老师我不会；抬腿法教时，虽然孩子能跟着你报出答案，但一到自己做时，十之八九都拿着铅笔画圈圈。这节课也让我体验到了初为老师时十足的挫败感。(友情提醒：小学生不建议教方程)

注意了，又是抬腿法！还有什么正统的假设法。还有方程！

不过呢，如果是大家对数学更感兴趣一些，推荐大家读超模君写的这篇文章（2018年）：

《鸡兔同笼这个小学时代的大难题，看到了中国古人的超级脑洞》

这篇文章好，好就好在指出了超级脑洞，就是说，为了解这个问题，中国古人神思妙想，开了一个超级脑洞——抬腿法：让兔子和鸡同时抬腿，哈哈！

总之，这个话题，网上过一段时间，就要流传一下。改头换面，什么霸气老总，红颜秀女，越狱天才，笨笨小猪，各种乱花，缭乱人眼，但又万变不离其宗——抬腿法。

其实，所谓的抬腿法，在学习了线性方程组后，就知道其实就是消元法。但是，古人没有代数方法，不能显性表达线性方程，一切都是用文字描述，然后在脑子里面搅动。因此这样一个数学问题，在古人求解时，必须要开动极度脑力，想出极度的方法，如抬腿法那样的，才能求解。在古代，能够开出这个脑洞，相当不简单，其难度，完全可能比现代证明一个大定理的难度还要大。

这都是因为古人没有一个合适的代数结构来描述这个问题。在古人那里，仅能用文字描述，没有精确的数学方式，思考起来困难，求解起来就更困难，更难以把问题推广到更多个变量。虽然在我们看来线性方程很简单，但是，在用线性方程来表达鸡兔同笼之前，就要导入X，Y的表达，以及相应的运算规则。跨越算术而到代数，历史上花了上千年的时光。

鸡兔同笼给我们的启示就是，对一个数学问题，有两种处理方式：其一是在脑中绞尽脑汁，开出脑洞，而获得一个精彩的解；其二是找到合适的代数表达式，而代数表达式可以使得求解成为比较机械的套路。抬腿法就是前者，而建立代数表达则是后者。相对于精彩脑洞来说，建立合适的代数表达，是更伟大的数学进步。当然，如果不在合适的时代，也不可能建立代数，这不是为个人的聪明程度所限，而是为时代所限。

现在，我们清楚代数结构的意义了。

那么，现在这个时代允许我们建立什么样的结构呢？我们的时代正在急迫呼唤建立用于描述类比的代数结构。而且，我们愿意预测，现在还是幸运的时代，即的确有可能建立起这个代数结构。

现在再说类比。我们可以先看一些简单的例子。让我们先从科普读物《数学思维》，郑乐隽著，里面抄一段书：

我们来思考一下这个数字集合：
{1，2，3}
你觉得以下哪个集合是和它类似的集合？
1.{2，3，4}
2.{2，4，6}
3.{-1，-2，-3}
4.{11，12，13}
5.{101，102，103}
6.{100，200，300}
7.{13，28，42}
8.{猫，狗，香蕉}

这就是类比。可以说，类比地看，上面的8个集合，和{1，2，3}这个集合都可以类似，不同的类似。例如，{1，2，3}和{2，3，4}类似，因为后者是前者每个数加1。又例如，{1，2，3}和{100，200，300}类似，因为后者是前者每个数乘100。再例如，{1，2，3}和{猫，狗，香蕉}类似，因为在读者心目中，猫狗香蕉的重要程度排序就是1，2，3。而且从情形1到8，集合都有3个元素，这就不仅和{1，2，3}类似，而且是集合的基数相等了。

其实还可以再稍加变动一下：
1.{3，3，4}
2.{6，4，2}
3.{-1，-2，-3，-4}
4.{11，12，13，14，15，16}
5.{。，。。，。。。}
6.{口，哭，品}
7.{13，28，42}
8.{猫，狗，香蕉，金鱼}

上面的8个集合，和{1，2，3}这个集合也都可以类似，只不过，有的类似隐藏得更深一些。

如上的类比，其实仅触及了类比的皮毛。还有更多更深更广更隐藏的类比。在诗词、对联、谜语、脑筋急转弯、笑话段子、政治攻击、···，中间，类比都无处不在。要证明数学定理，探索物理规律，设计生物实验，编写计算机程序，肯定时时刻刻在使用类比。

读者肯定都很容易体会这些类似，把自己体会到了的类似写下来也不困难。但是，是否有一种数学表达方式来表达我们体会到的这些类似？这就是问题！这就是我们希望寻找的代数结构，可以用来表达思想中类比的代数结构。《GEB》的作者侯世达和人合著了一本书:《表象与本质：论类比作为思维的燃料与火焰》，书中就把类比当作了思维的最本质的活动。如果能找到了描述类比的代数结构，我们就能以更精准的方式描述思维，乃至计算思维。如果能够如此，完全可以相信，将极大促进人工智能的研究。

就我们所了解的，目前还没有这样的代数结构。因此，我们这里把问题列出来：寻找一种代数结构，使之可以运用于描述类比，可以把类比写成数学表达，也使得我们可以计算类比。