创刊70周年特邀综述---关于测度值过程的随机分析

测度值过程，也称为超过程，是在宏观尺度下刻画随机系统演化行为的数学模型，在人口遗传、交互作用粒子系统、定向渗流和非线性偏微分方程等领域有重要应用。比如 Fleming-Viot 过程被用来研究群体遗传学中的基因型频率的演化，而 Dawson-Watanabe过程则是交互作用粒子系统的收缩极限 (scaling limit)，并被用来刻画临界状态定向渗流。

随机分析作为概率论和纯数学的交叉领域，一方面使用分析的方法研究随机过程，另一方面发展概率论工具研究基础数学中的问题。扩散过程是研究粒子做连续随机运动的数学模型，其微观特征 (轨道性质) 是运动的连续性和不规则性，宏观特征 (分布性质) 则联系着算子半群理论和偏微分 (Fokker-Planck-Kolmogorov) 方程，因而是随机分析中的重要研究对象。在随机分析中，Dirichlet 型理论和随机微分方程理论是研究扩散过程的两个重要工具。前者使用能量 (梯度) 和参考测度 (平稳分布) 确定预 Dirichlet 型，通过证明其可闭性和闭包的正则 (regular) 性或拟正则 (quasi-regular)性，确定相应的扩散过程；后者则通过解 (强解或鞅解) 由 Brown 运动驱动的随机微分方程直接构造扩散过程。 

为促进测度值过程和随机分析这两个领域之间的交叉发展，我们使用随机分析中的 Dirichlet 理论和随机微分方程来研究测度值过程，刻画它们的各种分析性质与概率性质。为此，我们首先在测度所组成的空间上引入微分结构，介绍测度函数的外在导数 (extrinsic derivative)，内蕴导数 (intrinsic derivative) 和Lions 导数，并刻画它们之间的关系，然后使用这些导数并选取具有应用背景的参考测度来构造 Dirichlet 型，通过研究这些 Dirichlet 型的泛函不等式以刻画相应测度值扩散过程的分布性质。此外，我们引入一类像 (image) 依赖的随机微分方程，通过解这类方程构造了 Wasserstein 空间上的扩散过程，并研究其遍历性以及在偏微分方程中的应用。最后，我们还介绍了与测度值过程相关的分布依赖随机微分方程，这类方程由于在非线性方程和金融中的重要应用而受到广泛关注，因为由 McKean 引入来刻画动力学理论中的 Vlasov 系统而被称为 McKean-Vlasov 随机微分方程，也因为其分布是平均场粒子系统的混沌极限而被称为平均场随机微分方程。我们研究了这类随机微分方程的分布关于初始分布的 Lions 可导性，并使用 Malliavin 变分对其 Lions 导数建立了 Bismut 型公式。 

在文章的每个部分都提出了待研究的问题。特别是关于 Wasserstein 空间 (R^d上具有二阶矩的概率测度所组成的空间) 上随机分析的研究，一个重要的未解决的问题是如何在该空间上构造 Brown 运动，这是发展相关随机分析理论的出发点，虽然已经有过一些尝试，但还远未解决。另一方面，在 Lions 导数和 Wasserstein 距离下，该空间已经被赋予了很好的 Riemann 结构，是一个无穷维完备 Riemann 流形，并且相应的 Laplace 算子具有非负的 Bakry-Emery 曲率。核心问题是，如何使用 Dirichlet 理论或随机微分方程，在 Wasserstein 空间上构造由 Laplace 算子生成的扩散过程，即 Brown 运动。