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向你介绍我是谁  本期内容有哪些 听一听：如何成为剪刀石头布游戏的世界冠军？ 读一读：重构系统 走向深刻 看一看：十问知底 轻轻松松听书 ——节选自《神奇的数学》 坚持阅读八分钟 重构系统 走向深刻 ——五上《平面图形面积计算复习》的思考与实践 开篇 小学数学教学中的大道理的一个必要补充：就整体而言，我们不仅应当高度重视由局部性的生成性的认识向整体性的结构性认识的转变，而且应努力促使学生从更高的层次进行反思与认识的必要“重构”——这是郑毓信教授在《用案例说话：数学教学中“核心问题”的提炼与“再加工”（二）》中一段结尾。笔者读到这段话时，心中为之一震，脑海中顿时闪现的一句话就是“复习就是一次重构”——一次由零散到结构、由局部到整体、由低阶思维到高阶思维的重构。 为什么会产生这样一种感悟？是因为笔者对人教版五年级上册《平面图形面积计算复习》一课进行了一次不一样地尝试。以下是笔者的思考与实践。 如果说复习是一次重构的话，那么我们首先要思考的是“需要重构吗？”如果需要，那么，我们接下去要思考的是：“为什么要进行重构？”“需要重构什么？”“原先的学生的局部性的零散认知”是怎样的？我们需要引向怎样的“整体性结构认知”？如何从更高的层次进行反思与认识？笔者认为，要回答这个问题，要从“教材和学生”两个角度展开思辩。 （一）思辨一：重构什么？ 人教版将小学生学习平面图形的面积分为三个阶段。第一阶段：三年级学习长方形、正方形的面积计算；第二阶段：五年级学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算；第三阶段：六年级学习圆面积计算。除了第一阶段外，其他平面图形的面积计算都是通过“转化”为已经学过的平面图形的面积计算进而推导出计算公式的。长方形、正方形的面积计算则是通过拼摆面积单位的直观经验总结而得到，它的面积计算公式的推导也是最显示“面积”本质的。关于三个阶段之间的关系我们可以通过下面教材的图进行说明。  六下《总复习》  五下《多边形的面积》 从教材的编排线索中我们可以看到，教材已然安排了两次“重构”——一次是在五年级下册《多边形的面积》单元，一次是在六年级下册的《总复习》中。从图的对比中我们可以看出，两次的重构思路是一样的：回顾推导过程，理清面积计算公式的由来，感受图形之间的联系。关于这里的“联系”，教材用箭头图清晰地呈现——图形转化推导之间的联系。 从教材的编排我们看出，教材极力想达成的是“由局部性的生成性的认识向整体性的结构性认识的转变”。那么，如何从更高的层次进行反思与认识的必要“重构”？我们还需要“重构”什么呢？笔者认为，如果从更高的层次审视平面图形的面积计算，还需要从以下两点进行重构。 No.1 重构一：重构认识长方形的基础性 在教材中，长方形的基础性在于它是面积计算公式的推导的起始。这是“正向”的一面。但笔者认为，长方形的基础不仅于此，我们还应让学生认识到：平行四边形、三角形、梯形、圆都可以转化为长方形，建立这些图形与长方形之间的联系。而与长方形建立联系的缘由是为了重构“面积的二维属性”。 No.2 重构二：重构面积的二维属性 即使学生能够非常熟练地把教材中的推导过程的图呈现出来，笔者认为，这对于学生来说仍然不是最高层的“反思与认知”。对于平面图形的面积计算的最高层次的反思与认知，笔者认为是“面积的二维属性”，即平面图形的面积大小都是由“长、宽”决定的。这就从数学的本质上对面积进行了梳理与概括。当学生的意识中有了这样的存在，那么他审视数学的目光才会真正不一样。 （二）思辨二：学生已有知识达到了什么层次？ 以上笔者从教材的角度提出了两个需要重构的角度，这是一种理想化的状态：期望学生能够达成的一种“感悟”状态。那么学生是否已经到达了这样的学习层次？学生的学习中还存着怎样的相异构想？我们有否可能在教学中实现上文所说的“从二维层面审视面积计算”的更高的层次进行反思与认识？ 为此，笔层实践前对所执教班级进行了一次学情调研。 调研问题 我们已经学过哪些平面图形？你能根据这些平面图形的公式的推导过程用画一画、写一写的方式表示出这些平面图形的面积计算之间的关系吗？我们试从以下几个方面来对学情进行分析。 调研分析 01 第一类 能够比较清晰地表达平面图形的面积推导公式之间的关系（如下左图）。这类同学能够清晰的展现出平面图形的面积计算公式的推导过程，正方形、平行四边形的面积计算公式是由长方形面积计算公式推导得到，三角形、梯形的面积计算公式由平行四边形面积计算得到的。不足之处是：学生只看到箭头的正向价值，没有认识到图中的箭头还可以“反向理解”——转化。  02 第二类 学生能讲清楚平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的具体推导过程，但没有形成结构化思维。   03 第三类 从长方形开始思考起。有一些孩子的作品向我们呈现另一种思路：在他的眼中，长方形是推导出正方形、三角形、梯形、平行四边形面积计算公式的源头，虽然他的想法中还有不成熟的地方，但如果换一个角度思考，我们可以看到“长方形”的基础性在学生心中的元认知。学生似乎有意无意间意识到各个图形与长方形之间的紧密联系。   04 第四类 在众多作品中，有一位孩子的作品尤其引人注目。这位孩子思考了一个问题：哪个图形最重要？并且给出了四个不同的答案，给出了自己的理由。她的作品也给了我们启示，当我们用联系的眼光去审视平面图形的时候可以这样丰富。同样的，我们看到了“长方形”的基础性在学生心中的感知存在：正如下图学生所说，所有的平面图形最终都可以转化为长方形。  学生作品给我们的启示是：长方形的基础性对学生来说有着天生的亲近感，这并不陌生，但这是感性的，并非理性。理性的认识分两个层次：长方形是面积推导公式的起源，二是平面图形可以转化为长方形，这两点都是学生已有的认知或者通过提问可以感知到的。第二，用联系的目光的看图形是学生的薄弱环节。这里的联系也有两层含义，一是指用联系的眼光看图形的面积计算推导关系，二是从“二维的角度”统一认识平面图形的面积计算。学生对于第一个联系的认知好于第二个，第二个联系没有学生能够意识到。从二维的角度重新审视平面图形的面积计算是一个全新的视野。而笔者的实践正是想借助学生已有的对于长方形的亲近感实现“离散到集中”的重构。 （一）立足学生作品，体会长方形最基础 1.出示学生作品，由学生介绍平面图形的推导过程。师配合课件动画再一次帮助学生回顾每一个平面图形的推导过程。  2.追问：在这些平面图形中，你认为哪个平面图形最基础？ 生1：长方形最基础。因为正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是由长方形面积计算公式推导得到的。 生2：我也认为长方形最基础。因为平行四边形可以通过割补转化成长方形。三角形、梯形也可以通过割补转化成长方形。正方形是特殊的长方形。 思考 这一环节中，笔者通过一幅学生作品展开教学，主要想要达成两个目标。一是借助这一幅图和课件的动画演示，帮助学生进一步巩固平面图形面积推导的过程，理解公式的含义。二是借助作品引发学生思考发现：长方形是这些图形中的最基础的平面图形。对于这一点，学生是从两个角度来思考的。一是长方形的面积计算公式是这些平面图形面积计算公式的源头，二是通过一定的变换，这些图形都可以转化成长方形。前者是学生比较容易理解的，后者隐藏在图形的变化中，相对来说比较难，我们需要接下来的环节中让学生进一步感悟。 （二）借助面积排序，感悟面积和长、宽的联系 1.出示练习：不计算，你能将这五个图形按面积从大到小的顺序排序吗？说独立思考。  2.反馈交流。 汇报时要求学生说出其中两个图形的面积比较，最后教师进行整理。 生1：先比较长方形和平行四边形。长方形和平行四边形高一样，平行四边形的底比长方形的底长，所以平行四边形的面积是长方形的两倍。 生2：平行四边形和3号三角形的底、高是相等，所以平行四边形的面积是三角形的两倍。 由此又可以得出：长方形面积等于3号三角形面积。 生3：我知道了梯形的面积小于平行四边形面积。把平行四边形看做是上底和下底都是8厘米的梯形，我们就可以看到平行四边形的面积比梯形大。 生4:5号三角形和3号三角形底一样，但高是5号的长，因此5号三角形的面积更大。 生5：平行四边形的底与5号三角形的底是相等，5号三角形的高是平行四边形的两倍，因此它们的面积是相等. 通过学生的叙述，最后得到的排序是：2、5＞4＞1、3 3.想象一下，2、3、4、5可以变成一个怎样的长方形？ 学生画图思考后汇报展示，如下图。 师：将平行四边形、三角形、梯形通过割补、平移转化成长方形后，我们能一目了然地看到它们的面积大小。 思考 这个环节，笔者设计了一道比较平面图形面积的综合练习。在这道习题中，我们可以清楚地看到学生借助已有的经验——平面图形底、高之间的关系进行面积的两两对比。在这个过程中，学生充分调动的数学活动经验有：高相等平行四边形（三角形），底越长，面积越大，反之亦然；底和高相等平行四边形的面积是三角形的两倍；如果底相等，三角形的高是平行四边形高的两倍时，三角形和平行四边形面积相等。长方形和3号三角形的面积是间接比较的，因为它们都是平行四边形的一半。 用这样的方法不容易比较的就是5号三角形和梯形，因此，学生几乎没有触及直接比较这两者的情况。因此，在学生充分阐述了这些想法后，笔者话锋一转，让学生思考，你能把这些图形都转化成长方形吗？学生通过画图后发现，这些图形都可以转化成长方形，而且，这样一来，原本的问题也就变得更简单了。 在这里，让学生能够比较这些图形的面积并不是最终的目的。在比较的过程中让学生直观的看到到这些平面图形都可以转化成长方形，进一步体会长方形的基础性才是教学的隐形目标。 （三）统领全局，感悟面积由长、宽决定 No.1 长方形 (1)课件出示第一幅图，回顾长方形的面积的推导过程，再一次明确长×宽是在求长方形里包含了多少个这样的面积单位。 (2)件出示第二、三幅图，长方形的长增加一个单位，宽增加一个单位，直观呈现：长方形的长变化引起面积变化，长方形的宽变化引起面积变化。 (3)课件出示图4，长宽同时变化面积也发生变化。 小结：你有什么发现？ 引导发现：长方形的面积由长、宽决定。 No.2 其他平面图形 逐一出现平行四边形、三角形、梯形，核心问题：平行四边形的面积由什么决定？ (1)体会平行四边形面积由长、宽决定的。 (2)体会三角形的面积由长、宽决定。 (3)体会梯形的面积由长、宽决定。 No.3 对比提升 课件出示四幅图，仔细观察这四幅图，你有什么发现？ 总结发现：这些平面图形的面积都由两个量决定：长与宽。 思考 这是本课最激发思考的地方。学生的视角往往是单一的，不是联系的；往往是直观的，而非内在的。在这一个环节中，笔者试图借助平面图形的面积推导过程让学生感悟无论平面图形怎样变化，但他们的面积都是由长、宽决定的。 当然，这个感悟并非一帆风顺。在平行四边形的时候，学生开始了第一次思辨。有的孩子认为，平行四边形的面积由底和高决定，有的孩子认为平行四边形的面积由长、宽决定。通过讨论，学生发现其实这两句话道理是一样的。当将平行四边形通过割补平移转化成长方形后，底就相当于是长，高就相当与宽。在梯形处是学生的第二次思维转折点。当笔者提问：梯形的面积由几个量决定的时候，有的学生回答“三个，上底、下底和高”，有的学生回答“两个，底和高”，有的学生回答“两个，长和宽”。这三个回答是一个层层递进的过程。回答“三个”的孩子是看到的是最直观的梯形，回答“底和高”的孩子大脑中已经看到了两个完全一样的梯形拼成的平行四边形的形状了，而回答“长和宽”的孩子则更进一步，看到了转化后平行四边形进一步转化成长方形的模样。通过这样的思辨，学生在对比环节的发现也就水到渠成了：平面图形的面积由长、宽决定。 （四）练习巩固、回顾反思 1.完成练习：画一个面积是20平方厘米的平面图形（长方形或平行四边形、三角形、梯形）。先想一想，你准备怎么画？ 2.交流反馈，引导总结： 长×宽的乘积确定了，图形的面积也就确定了：面积=长×宽。 3.静静地回顾这节课，对于平面图形的面积计算，你有什么新的认识?你还能提出什么问题？ 思考 学生对于理解平面图形的面积由长、宽决定是否就足够？笔者决定再进一步。在这一环节中，笔者通过画一个面积为20平方厘米的平面图形这一活动让学生感悟到：面积=长×宽，这也就是“积”的本质含义。学生最后的提问环节是一个必要的延伸。圆的面积要在六年级学习，在这里，学生就提出一个猜想，圆的面积是不是也由长和宽决定？这个问题将成为一粒种子，待来日生根发芽。 这是一次不寻常的复习之旅，学生收获的不仅仅是面积由长、宽决定这一结论，而是带着一种“结构的、整体的视角”审视自己的学习。笔者试想，这是否是郑老所说的“一次由零散到结构、由局部到整体、由低阶思维到高阶思维的重构”？继续思索中…… 看一看 十问知底 魔术师说：“假如在小于1024范围内任想一个数让你猜，你要问几次才能猜中？” “这可难讲，“有人回答说，”把所有的数都问一遍，需1024次，准猜中！“ ”那算什么能耐？“魔术师说，“我最多只提10个问题，对方只需回答‘是’或‘不是’，就可以了。” 有人想了个“187，说”我想好了，开始吧！“ 魔术师问：“大于512么？” 对方答：“不是！“ “大于128么？” “是！” “大于192么？” “不是！” “大于160么？” “是！” “大于176么？” “是！” “大于184么？” “是！” “大于188么？“ ”不是！“ ”大于186么？“ ”是！“ 魔术师大声说：”你想的数在186和188之间，肯定是187了！“只问了8次就猜中了。其中的奥秘何在呢？ 一课研究 审核人：吴光波 陈继辉 |
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