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最近笔者在编辑分段函数的讲义时，对数形结合的思想有一点儿感触与新的认识，尤其是关于数形结合与逻辑推理证明之间的关系，这里谈一下自己的看法，同大家交流与学习。 “数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。众所周知，数形结合有两方面的内涵：以形助数，以数解形。形是图形的形，生动形象，直观，一目了然。数是数字的数，是符号表达，是精确数学语言的刻画，也是严谨的逻辑推理。 “数形结合”一词正式出现据说是在华罗庚先生的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中写道 “数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非； 切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！” 这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质：把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，使“数”与“形”各展其长，优势互补，实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简单化，几何问题代数化，抽象问题具体化，达到优化解题途径的目的。 问题来了，数形结合能不能代替推理证明？在国外，有一个新兴的数学几何学科研究中的一个方向，叫做Proof without words, 无需语言的证明，即利用几何图形的直观来“证明”，在国外也渐渐被学者所接受。最典型的例子当属图论的四色定理的证明，当数学家借助计算机将问题的答案直观呈现出来，几何证明了四色定理的正确性。然后至今仍然没有人能给出严谨的逻辑推理证明。这个例子可能不好理解，举一个大家都懂的例子：勾股定理。笔者想请问如何证明勾股定理，此刻你心中应该会有很多种图形，赵爽弦图又或者下面这个有趣的水流证明实验等等。勾股定理的图形证明目前世界上至少有几十种，其中不乏诸多特别漂亮的证明方法。但笔者想请问，你能给出严谨的逻辑推理证明吗？而无需借助图形来说明。  小学和初中的勾股定理基本都是图形证明，若熟悉高中课本，你会发现整个高中课本并没有出现“勾股定理的证明”这七个字，它默认这是大家都知道的事实了。然而事实上高中数学课本中至少有一处给出了勾股定理的严谨推理证明，只不过不是以勾股定理的名义，而是以它的其中一种一般化形式“余弦定理”出现的。本质上是借助向量来证明。话说回来，数形结合能不能代替推理证明？答案是否定的，理由是不够的严谨。数学结合一种重要的数学思想和方法，而不是严格的逻辑推理手段，这也是高考不允许只有图形没有数学证明的答案得满分的原因。严谨的证明很重要而且必须，因为人有时会被眼睛所看到的所欺骗，下面就是一个很好的例子。但无论如何，必须得承认的是图形却可以帮助理解与判断，起着非常重要的作用。  |
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