2020年中考数学二次函数压轴题之等角平移问题

3．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x＝2，点 A 的坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）点 P 为抛物线上一点（不与点 A 重合），联结 PC．当 ∠PCB＝∠ACB 时，求点 P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于 y 轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点 D，点 P 的对应点为点 Q，当 OD⊥DQ 时，求抛物线平移的距离．

【解析】

解：

（1）∵ 对称轴为直线 x＝2，点 A 的坐标为（1，0），

∴ 点 B 的坐标是（3，0）．

将 A（1，0），B（3，0）分别代入 y＝x2+bx+c，得

则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．

由 y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1 知，该抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；

（2）如图1，过点 P 作 PN⊥x 轴于 N，过点 C 作 CM⊥PN，交 NP 的延长线于点 M，

图1

∵ ∠CON＝90°，

∴ 四边形 CONM 是矩形．

∴ ∠CMN＝90°，CO＝MN，

∵ y＝x2﹣4x+3，

∴ C（0，3）．

∵ B（3，0），

∴ OB＝OC＝3．

∵ ∠COB＝90°，

∴ ∠OCB＝∠BCM＝45°．

又 ∵ ∠ACB＝∠PCB，（ 已知条件 ）

∴ ∠OCB﹣∠ACB＝∠BCM﹣∠PCB，即 ∠OCA＝∠PCM．

∴ tan∠OCA＝tan∠PCM．

∴ OA/OC = PM/CM = 1/3．

故设 PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．

∴ P（3a，3﹣a），

将其代入抛物线解析式 y＝x2﹣4x+3，得（3a）2﹣4（3﹣a）+3＝3﹣a．

解得 a1＝11/9，a2＝0（舍去）．

∴ P（11/3，16/9）．

（3）设抛物线平移的距离为 m，得 y＝（x﹣2）2﹣1﹣m．

∴ D（2，﹣1﹣m）．

如图2，过点 D 作直线 EF∥x 轴，交 y 轴于点 E，交 PQ 延长线于点 F，

图2

∵ ∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，

∴ ∠EOD+∠ODE＝90°，∠ODE+∠QDF＝90°．

∴ ∠EOD＝∠QDF．

∴ tan∠EOD＝tan∠QDF，

∴ DE/OE ＝ QF/DF．

解得 m＝1/5．

故抛物线平移的距离为 1/5．

【分析】

（1）通过对称轴 x = 2 , 把 B 点的坐标求出来，代入抛物线一般式解二元一次方程组，求出抛物线的解析式，把一般式化为顶点式从而求出顶点坐标。

熟练掌握中点坐标公式、解二元一次方程组、用配方法把一般式化为顶点式等知识点。

（2）关键是 P 点的位置如何确定，直线与抛物线最多只有两个交点，点 A、点 C 已经在抛物线上了，结合已知条件 ∠PCB＝∠ACB，点 P 不可能在直线 AC 上，若在的话就有三个交点了，从而可以确定出 P 点的位置如下图所示。

结合已知条件，通过锐角三角函数，建立线段之间的数量关系，如何建立就是通过函数与方程的数学思想，通过方程知道 P 点的坐标后，代入二次函数解析式，从而求出 P 点的坐标。

设点坐标或线段的长度，一定要注意未知数的个数越少越好，越有利于解题！

（3）在（2）的基础上画出草图，这是一个基本功，一定要动手练，图画出来问题就好解决了。

解题的过程中遇到困难，就要想到 “辅助线” ！

∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，想到 “一线三等角” 两边容易出相似三角形，通过线段之间的比例关系，就可以解决问题。

本题还是点的坐标与线段的长度之间的一个转化，类似于第（2）问。