精品小学奥数讲义及例题——分数的加减巧算

01

趣味数学

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阿凡提巧治坏地主

有一天，阿凡提骑着自己的小毛驴来到田边。他四处欣赏着美丽的田园风光。突然，听到有人叫他，回头一看，原来是两位给地主巴依老爷干活的佃农。阿凡提忙问：“两位朋友有什么事吗？”其中一位农民说：“阿凡提，我们遇到一个难题，想来请教你。”然后这位农民就把这个难题的由来讲了一遍。原来，这两位农民被地主巴依老爷雇佣干活，眼看到发工钱的时候了，地主却打起了坏主意。

他和账房先生一计算，要给这两位农民各20块银元。地主心里非常不乐意，仿佛拿走他的钱就像割他的肉一样。于是和老婆一起想出了个主意，要两个农民明天早晨割亩麦子，一点不能多，一点也不能少。明早八点之前，巴依老爷要亲自检查。如果严格按要求完成了任务，就发工钱，而且还给回家的路费。如果完不成任务，工钱就一分不给。两位农民没有上过学，自然不知道亩麦子到底是多少，正在发愁的时候，正好碰见了阿凡提，才有了开头那一幕。

阿凡提听完，笑了笑说：“两位朋友不用担心，你们只要按我说的去办，保证能拿到工钱，而且还能赚取路费。”阿凡提讲完，把两位农民叫到眼前。悄悄地把解难题的办法告诉了两位农民。两位农民听了以后，非常高兴，对阿凡提千恩万谢。

第二天早晨，巴依老爷和老婆一起来到地里检查两位农民任务完成的情况。巴依老爷以为两位农民这次肯定一分钱都拿不到，所以脸上带着得意的笑容。可是走到地边却发现麦子正好割了亩。两位农民说：“老爷，你的任务我们已经按时完成了，你也该给我们工钱了吧！”巴依老爷没办法，只得叫账房先生给了农民工钱。

小朋友，你知道有什么简便方法计算吗？

我们可以看出：

因此两位农民要割亩地。解这类分数题目关键在于拆分，然后计算，实现简化的目的。

02

奥数小练

在解答一些较复杂的分数加减法问题时，必须从整体上观察试题，找到它们排列的规律及其数字特征，分析有无类似裂项公式的特点。这是解题的重点和关键。

常用方法：

1.公式法：直接运用公式来计算，如运用等差数列求和公式等。

2.图解法：将算式的意思用图表示出来，从而找出简便计算方法。

3.裂项法：将一个分数拆分为两个或几个分数的差或和，使部分分数互相抵消，从而使计算简化。通常裂项公式为：

4.分组法：运用运算定律，将原式重新组合，把能凑整或能化简的部分结合在一起简算。

5.代数法：将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。

【例题1】

【思路导航】

此题每一个加数的分子都是1，而分母又都是相邻的两个自然数的积，用裂项法简便。

【例题2】计算

【思路导航】此题分子都是2，而分母又都是两个相邻奇数的积，所以根据分数的裂项原理和方法，把每个分数拆分成两个单位分数差的形式，通过抵消进行简算。

【例题3】

【思路导航】此题可以将一个分数拆成两个分数相加的形式，然后去括号，再进行运算简便。温馨提示：去掉括号后，要注意符号的变化。

【例题4】计算

【思路导航】此题可以用分组的方法解决。观察可知分母是1的和为1；分母是2的和为2；分母是3的和为3；……依次类推，分母是49的和为49，此题就简化成求1+2+3+…+49的和。

03

奥数小练

我国古代是如何计算异分母分数加减法的

分数加减法在我国《九章算术》中也有具体的讲述，如下：

分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。加法的步骤是'母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一'

这里'实'是分子,'法'是分母，'实如法而一'也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：

其一是运算结果如出现'不满法者，以法命之'。就是分子小于分母时便以分数形式保留。

其二是'其母同者，直相从之'，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。

按所述法则计算，我们来看一个例子：

由此可见，早在两千多年以前，我国分数四则运算法则已经如此先进，身为炎黄子孙应由衷感到无比骄傲和自豪。