对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:。由于上式中的与的平方和为1,故可记=cosθ,=sinθ,则asinx+bcosx=,(*)其中θ由来确定。通常称式子(*)为辅助角公式,它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin()+k的形式。例1、求函数的最小正周期。解:将三角式化为y=Asin()+k的形式,是求周期的主要途径。例2. 已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若,求f(x)的最大值和最小值。解:f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=。由。从而f(x)在上的最大值是1,最小值是。例3. 已知向量,,令,求函数f(x)在[0,π]上的单调区间。解:先由。反之再由。所以f(x)在上单调递增,在上单调递减。以向量的形式给出条件或结论,是近两年来三角命题的新趋势,但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(ωx+)+k的形式,是求单调区间的通法。例4. 求函数的值域。解:例5. 已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),画出函数y=f(x)在区间上的图象。解:由条件。例6. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称,那么a=( )(A) (B) 解:可化为知时,y取得最值,即例7、已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?解:(1)向左平移,得到y=sin(x+)的图象;(2)将(1)中所得图象上各点横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得y=的图象;(3)将(2)中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍,横坐标不变,得y=sin(2x+)的图象;(4)将(3)中所得图象向上平移个单位长度,得到y=sin(2x+)+的图象。综上,依次经过四步变换,可得y=的图象。例8. 已知函数f(x)=+sinxcosx。设α∈(0,π),f()=,求sinα的值。解:f(x)==sin。得sin()=。又α∈(0,π)。而sin,故α+,则cos(α+)=。sinα=sin[]=sin==。化为一种角的一次式形式,可使三角式明晰规范。在求sinα时,巧用凑角法:α=(α+)-,并且判断出α+的范围,进而求出cos(α+)的确切值,使整个求值过程方向明确,计算简捷。例9. 若函数f(x)=的最大值为2,试确定常数a的值。解:f(x)===,由已知有,解得a=。例10. 已知函数f(x)=sin2x+sin2x,x,求使f(x)为正值的x的集合。=1+。由f(x)>0,有sin2x-则得2kπ-,故kπ<x<kπ+。再由x[0,2π],可取k=0,1,得所求集合是。
|