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在近几年中考中，有这样一类热点题型很受中考命题人的青睐：它的题意构思非常精巧，解题方法非常灵活。 就连不少平时学的还不错的学生，在考试面对这类题型时，也大多有过这样的经历：
没错，这类问题就是“存在性问题”。不论是中考还是平时模拟考试，它也总是大家最容易丢分的题型之一。 特殊三角形存在性问题 洋葱君初步统计了一下，仅2019年，就有40个以上的省、市地区的中考压轴题，都在考查存在性问题。 在这40多个省市地区的中考试题中，洋葱君特意找出了下面这4道题，可以说是其中非常典型的题目了，你能看出这些题都有什么特点吗？大致可以分为几类呢？ ▲ 4道典型的中考“存在性问题” 经过洋葱君的总结，这4道中考题可以归为以下四类： 今天，洋葱君将讲解“特殊三角形存在性问题”（主要讲等腰三角形和直角三角形）。在阅读本文前，建议大家先理解动点问题的“三步分析法”（点击这里查看）。 “存在性问题”有哪些难点？ 说起存在性问题，你的第一反应是什么？想不全、爱丢解？具体说来，大家总是丢解的原因主要有下面这3点： （1）对图形特征不熟悉，对动点运动规律不了解 比如，对于等腰三角形的存在性：已知一条边不动，另一个点会“跑”，但是“跑到哪呢？”你可能就会很懵。 （2）很难将图形和函数结合分析 存在性问题，通常都要求学生既要了解图形特征，又要了解函数性质，对综合能力的要求较高。 （3）几何规律的代数表示 在解题过程中，经常需要把几何意义用坐标的形式表示，大家可能就会在认知和理解上存在一定难度。 那么，对于等腰三角形和直角三角形的存在性问题，有什么比较好的解题方法呢？洋葱君今天带来的“两圆一线”和“两线一圆”模型，一定能帮助到大家。 “两圆一线”模型： 解决等腰三角形存在性问题 对于等腰三角形，大家最容易遇到的一类存在性问题，就是“已知等腰△ABC的一边AB，问点C的位置该怎么找？” 怎么找呢？这里洋葱君告诉大家一个模型——“两圆一线”模型。 什么意思呢？就是点C分别在“以A、B两点为圆心，AB为半径的两个圆、以及AB的垂直平分线上”。如下图所示，虚线上的所有点（除了重合和共线的情况）都满足等腰三角形，这就是两圆一线。 ▲等腰三角形的“两圆一线”模型 下面以2019年山东济南的等腰三角形存在性问题为例来说明： 仔细分析题目之后，你会发现这道题目可以简化成：已知点A(0,8)、B(2,4)，C和D分别从A，B出发向右运动，运动距离为m，问m为何值时△BCD是等腰三角形？ 看过动点问题的分析方法后，我们应该知道要“先写出随着m变化，点C，D的坐标，分别为(m,8)和(m+2,4)。” 接下来重点问题来了，我们该怎么找等腰三角形呢？ 这时，就要想到“两圆一线”模型，根据模型来找顶点的位置。 观察图形，我们发现在运动过程中，点B有三次落在虚线上，也就是有三个瞬间能构成等腰三角形，画出图形列方程就可以解出m的值。    滑动查看全部三种情况（点击图片可放大） 但细心的同学可能发现，这个模型说起来比较简单，但对我们的想象能力要求还是挺高的。那如果直观想象力不好，想象不出来图形运动状态该怎么办？ 这里洋葱君再教大家一种代数的方法，这种方法对几何直观的依赖性比较小，适合作为“通法”来使用！ ▲洋葱解题课中介绍了一种解决问题的“通法”，完整视频请在洋葱APP-初中数学人教版-中考二轮-存在性-等腰三角形存在性问题-构成等腰三角形查看 从上面的视频，我们可以看到：原来解决这类问题，还可以先表示长度，然后分类讨论列方程，最后再画图检验、舍掉不符合的情况。 这种“通法”适合大部分的同学，你学会了吗，快来试一试吧。 “两线一圆”模型： 解决直角三角形存在性问题 对于直角三角形存在性问题，同样有一个常用模型——“两线一圆”模型。 即以AB为边构造直角三角形，点C的位置就在过点A和点B做线段AB的两条垂线上，以及以AB为直径的圆上。即AB与下图中虚线上的所有点（除去重合和共线的情况）都可以构成直角三角形。 ▲直角三角形的“两线一圆”模型 下面以2019年河南题目为例，来做详细说明。 首先，还是可以将问题简化为“已知点C坐标(0,-2)，点P在抛物线y=1/4x2+1/2x-2上运动，点M在直线y=-1/2x-2上运动，且P，M横坐标都为m，问m为何值时，△PCM是直角三角形。” 然后，先明确点P和点M的运动方式，或者说P和M的坐标分别为：(m,1/2m2+1/4m-2)和(m,-1/2m-2)。 同样，我们需要先找到构成直角三角形时，点P的位置。根据“两线一圆”模型，可以做下图这样的思考。 观察图形，我们发现在运动过程中，点P有两次落在虚线上（不考虑重合的情况），也就是有两个瞬间能构成直角三角形，画出图形列方程就能解出m的值。 出图形列方程就能解出m的值。  滑动查看第2种情况（点击图片可放大） 同样，为了照顾直观想象能力相对较弱的同学，洋葱君在这里再教大家一种万能的“通法”。 ▲ 完整视频及更多题型请在洋葱APP中观看，视频位置： 初中数学人教版-中考二轮-最新中考压轴题-存在性-特殊直线的存在性 从视频中，我们可以看到，这个问题还可以先分类讨论直角顶点的位置；再画图检验、舍掉不符合的情况；最后再列方程求解。 |
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