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（本文发表于《教学月刊（小学数学）》2020年第1-2期） 思维可视化是借助图示、动作、文字、符号等多种数学语言相互转化的视觉学习，将看不见的思维路径显性化，对形式的数学本质内容进行内化理解的深度学习过程。它不仅是一种教学理念，更是一种教学行动，通过引导学生经历“直观地看”“形象地画”“出声地想”等可视化思维方式，让学生以生动的方式学习深奥的数学。 一、思维可视化在小学数学概念教学中的价值 数学概念是数学教学的重要基石，教学中需要我们把握两个视角。其一是基于学科本质，借助“情境→直观→操作”，引导学生理解数学概念，经历概念形成与同化过程，把握概念的本质意义。其二是基于儿童特质，读懂儿童前概念水平，让概念可感、可视、可触摸，让学习在认知冲突中真正发生，凸显概念建构的“知识链”与“思维链”。笔者认为，在小学数学概念教学中，思维可视化的价值主要可体现在以下几方面。 1.思维可视促概念具象化 数学概念教学需要还原生成概念的全过程，即意义建构的过程。教材往往把有意义的、鲜活的生成数学概念的思维活动给遮蔽起来，让学生理解概念的过程会出现思维断层。指向思维可视化的概念教学，能帮助学生跨越思维断层，促进概念的意义理解。例如，分数是一个抽象的概念，三年级学生要去理解它并不容易，教学就需要为学生提供可视化的直观模型，为学生提供看得见、摸得着的思维支架，把抽象的分数和具体的图像对应起来，促使分数概念具象化，以帮助学生深度理解分数概念。 2.思维可视促知识结构化 思维可视化是概念教学中的重要教学手段。借助思维可视化，可以使“点状”的单个概念走向“块状”的概念结构。例如，周长与面积两者之间存在着紧密的内在联系，学生特别容易混淆。教学中，教师可以借助对“边长是4分米的正方形，面积与周长相等”的辨析展开，引导学生通过在格子图中画一画、列表比一比等可视化的思维操作活动，发现周长与面积的关联度与区分点，形成较为完善的知识结构。 3.思维可视促经验模型化 强调“四基”是新一轮数学课程改革的显著变化，数学基本活动经验就是其中重要的一个维度。思维可视，一般是借助可视化的思维工具，展开可视化的思维操作活动进行，其价值不仅仅体现在显性的数学知识结构化这个层面上，对隐性的数学活动经验模型化有着更积极的意义。例如在面积的教学中，教师通常会设计可视化的操作与体悟活动，引导学生经历从定性到定量的认识过程，让学生对于“度量”的三要素有整体把握，建构起对“度量”学习的操作模型，在后续学习中就能自发地激活经验，自然地迁移经验。 二、小学数学概念教学中可视化思维工具建构 曹培英认为，根据可观察的学习结果（SOLO分类评价法），可以将数学理解层次进行梯状刻画，分别是前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平和拓展抽象水平[1]。基于数学理解的五水平层次，笔者认为概念教学中的可视化图示工具可以从前结构、单点结构、多点结构和关联结构这四个层级来建构，分别表现为实物图、直观模型、表格、韦恩图、思维导图、概念地图、思维树等不同表现形式。 1.前结构的图示，重经验唤醒 前结构的图示，基于学生的生活经验，与现实情境紧密结合，通常表现为生活场景或实物模型。例如学生在学习周长概念时已经有一些模糊的前概念，已经接触到大量的周长情境，如体育课沿着操场跑一圈，美术课的剪纸、生活中钟面上指针的走动等等。教学时就可以采用这些现实情境的动态演示，唤醒学生内在的认知经验和生活经验，初步建立“一周表象”。 2.单点结构的图示，重聚焦本质 单点结构的图示，一般直指概念最核心的本质属性。比如，直观模型是分数教学中重要的可视化思维工具，可以是面积模型，也可以适当采用线段模型、集合模型等。一般来说，这些图示的结构简单，主要聚焦核心要素“平均分”。在认识十分之几的分数时，就可以以这条1分米长的纸带作为学习工具（见图1），从“部分—整体”关系的角度来认识十分之几。  3.多点结构的图示，重厘清关系 多点结构的图示，重在沟通新旧知识的联系，并在知识的生长点上作重点刻画，帮助学生厘清知识要素之间或思维之间的内在联系，通常表现为列表、韦恩图、集合图等形式。例如在四边形的认识中，教师引导学生对一组图形进行分类，让学生通过比较和分类，归纳并概括出四边形的几类情况，并聚焦到长方形和正方形的再认识上来，结合可视化的操作活动，通过列表的方法凸现“角”“边”的特征，再用集合图表征两者的关系（见表1）。  4.关联结构的图示，重体系建构 关联结构的图示，着重刻画知识要素与思维方法之间的内在联系，注重知识链与思维链纵横交错的结构梳理。思维导图、概念地图、思维树等就属于这一层级的可视化图示。例如在概念教学中，教师可以借助图、文字、符号、线条等元素，聚焦核心概念，用节点表示概念，连线表示概念之间的关系，通过提纲式、辐射式、发散式等不同思维路径反映概念之间的层级关系，建构概念地图，使知识横成片、竖成线。 可视化图示思维工具的建构需要依赖于学生个体的经验，强调多感官参与的认知加工和重构。 三、指向思维可视化的小学数学概念教学过程建构 指向思维可视化的概念教学，充分发挥可视化思维工具的价值，经历“原型重现”“初建表象”“表征内化”“结构完善”的思维可视化全过程（见图2）。  图2 指向思维可视化的概念教学过程建构 在这个过程中，用“可见”的教、“可见”的学引发深度学习，实现模糊的、直觉的、不精确的、甚至是错误的前概念向一般的、典型的、精确的科学概念转变，促进概念的意义建构。 1.“原型”重现，对接生活经验 概念教学的起始阶段，思维可视其价值主要体现与生活经验对接，以“直观地看”为主要活动形式。一般在课堂上，教师会采用前结构的图示，即生活中的原型来引入。现实生活中的“原型”（前概念）是抽象、概括科学概念不可或缺的学习素材。例如，分数的“原型”就是“平均分物”，教学中用“分蛋糕”这生活原型作为支撑，经历以下学习过程： （1）出示情境图，唤醒生活经验：4个蛋糕平均分成2份，每个人分到几个？2个呢？1个呢？你能用合适的数分别表示平均分的结果吗？ （2）动态直观演示，初步感悟分数：结合对1个蛋糕平均分的动画演示，理解“半个→1/2个”“1/3个”“1/4个”是多大。 在这里，借助平均分的生活原型，唤醒学生的生活经验，为学生初步认识分数积累等分经验，像教自然数一样引入分数，引导学生参与创造1/2的过程，利用1/2个、1/3个、1/4个的实物模型，让学生知道分数是分物体的结果，在具体“平均分”的可视化情境中初步建立分数概念。 2.“表象”支撑，对接心理图示 当以“原型”激活对学生对概念的已有经验后，概念会以一定的表象形式在学生的头脑中进行编码储存，从而产生心理图示。这时候教师就要提供呈单点结构或多点结构的可视化图示，凸显“直观地想”“形象地画”的可视化学习过程，促成概念表象的具象化。例如“1厘米”表象的建立，就借助尺子这一可视化学习工具，采用以下几个步骤推进： （1）尺子上的1厘米：这把尺中隐藏着许多1厘米，请你在尺子上找一个你心中的1厘米。 （2）生活中的1厘米：哪些物体的长度或厚度大约是1厘米？ （3）头脑中的1厘米：闭眼想象、用手比划1厘米有多长，再徒手画一画。 在这里，通过找、想、比、画等可视化的方式，物化学生头脑中的1厘米，转化成学生可触摸的指甲长度、书本厚度等生活参照物，化抽象为具体，变无形为有形，帮助学生建立起1厘米的表象与量感。 3.“表征”操作，概念内涵理解 Lesh提出数学学习的五种表征（见图3），分别为生活情境、图像操作、口语符号和文字符号，图像在这个结构图占据中心地位。当学生对概念表象具象化时，教学还应借助这五种表征活动让概念表象操作化与活动化，实现多种表征之间的来回互译沟通，促进概念的深化理解。这是概念教学精致化的过程。  图3 莱什提出的数学学习的五种表征 例如认识几分之几的教学，虽然学生建立了几分之一的概念，但已有的认知经验和活动经验在抽象的分数概念之前，还是显得比较单薄，教学中依然需要强调折一折、画一画、说一说、辩一辩等多元表征活动，让学生借助四等分的正方形创造四分之几，在动手操作中感受四分之几的含义。活动后，组织学生进行有序汇报，并针对学生可能出现的情况，教师进行追问梳理，分4个层次： 追问1：这些分数里面各有几个1/4？学生对于4/4理解可能会有困难，老师可以结合图示，以及和1/4的联系中让学生来理解4/4就是一个整体。  追问2：为什么涂色部分的形状不一样，却都可以用3/4来表示？  追问3：你知道下面图形中涂色部分是整个图形的□/□吗？（长方形、圆、三角形、线段）  追问4：在下面的巧克力图中，你能找到哪些分数（可以平均分成2份；平均分成4份；平均分成8份）？与同桌一起找一找，并说一说每个分数表示什么意思。  4.“结构”完善，概念体系搭建 在经历概念深化理解的过程中，需要对学生已有的认知结构进行改组与扩充，促进学生把新、旧概念整合成知识“链”和思维“链”，形成概念网。例如，“除法”“分数”“比”是一脉相承的三个重要概念。学完“比”这一概念之后，需要对着三者关系进行梳理，通过列表或概念图（见表2）等可视化思维图示厘清概念之间的内在联系与区别，完善认知结构。  概念体系建构阶段，通常用关联结构的可视化思维图示，通过横向共通、纵向沟通、融会贯通等思维方式，体现思维可视化的价值，变“串联”为“并联”，变“可见”为“想见”，促进学生的思维向纵深处发展。 综上所述，重“原型”“过程”“表征”“结构”的可视化教学，彰显了思维可视化的无限魅力，让学生在概念的产生、形成、理解、深化的过程中经历概念的具象化向形式化转变的可视化过程，实现概念的意义建构，完善概念的结构体系。 学生对概念理解的深度源于教师对教学理解的厚度。指向思维可视化的教学变革意味着教学研究的视角亦要革新。在课前，教师需要深度解读知识，以理解数学概念的本质，明了思维可视化在本课教学的落脚点；需要深度理解学生，把握学生的前概念水平，明确学生思维可视化的水平如何；需要深度解读教材，体悟相关教材的编排思路，明晰可视化的思维支架有哪些，如何有针对性地用好这些支架；需要深度设计教学，把握指向思维可视化的有效教学路径。 主要参考文献： [1]蒋碧云.基于“数学理解层次”的教学路径探索——思维可视化的另一种打开方式[J].上海教育科研,2019(22):68-71. [2]葛素儿.思维可视，情理相融——第一学段数学教学中图式思维活动的设计与运用[J].教学月刊（小学数学）,2015(10)：40-42. [3]尹晗,张际平.思维可视化视角下的未来课堂架构研究[J].远程教育杂志,2016(2):106-112. [4]席爱勇.数学多元表征:让概念形成过程“看得见”[J]. 教育研究与评论（小学教育教学版）, 2017(9):65-67. |
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