中考数学分析之点坐标的求法

求点坐标是函数题目中常见的考法之一。如何求点坐标也是一项基本技能。

总的来说可以分为两个方向：

①定义法：也可以称为几何法，往坐标轴作垂线求线段长得坐标；

②代数法：利用函数的图象与性质，联立方程组求坐标。

本文题目选自以下地区：

2019·广东、2019·丹东、2019·盐城

2019·河北、2019·天水、2019·邵阳

2019·菏泽、2019·鄂州、2019·河池

2019·荆门、2019·徐州

【中考真题】

【题目】（2019·天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（　　）

A．（1，1）

B．（1，√3）

C．（√3，1）

D．（√3，√3）

【答案】B．

【分析】题目简单，但非常经典，具有代表性。过点B作x轴的垂线，求线段长得坐标。

【解析】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，

∴OH＝1，BH=√3．

∴点B的坐标为（1，√3）．

故选：B．

【举一反三】

1．（2019·河北）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x²+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．

（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

【答案】解：（1）当x＝0时，y＝x﹣b＝﹣b，

∴B （0，﹣b），

∵AB＝8，而A（0，b），

∴b﹣（﹣b）＝8，

∴b＝4．

∴L：y＝﹣x²+4x，

∴L的对称轴x＝2，

当x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，

∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2 ）；

2．（2019·盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是　      　．

【答案】解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，

∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，则x=1/2，

∴A（1/2，0），B（0，﹣1），

∴OA=1/2，OB＝1，

过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，

∵∠ABC＝45°，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴AB＝AF，

∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，

∴∠ABO＝∠EAF，

∴△ABO≌△FAE（AAS），

∴AE＝OB＝1，EF＝OA=1/2，

∴F（3/2，-1/2），

设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，

∴3/2 k+b=-1/2，b=-1，

∴k=1/3，，b=-1，

∴直线BC的函数表达式为：y=1/3x﹣1，

故答案为：y=1/3x﹣1．

备注：旋转45度构造三垂直的问题

3．（2019·河池）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是　　．

【答案】解：∵A（2，0），B（0，1）

∴OA＝2，OB＝1

过点C作CD⊥x轴于点D，

 则易知△ACD≌△BAO（AAS）

∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2

∴C（3，2）

设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得

0=2k+b，2=3k+b 

∴k=2，b=-4

∴直线AC的解析式为y＝2x﹣4．

故答案为：y＝2x﹣4．

备注：旋转90°的坐标

4．（2019·邵阳）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是　　．

【答案】解：作BH⊥y轴于H，如图，

∵△OAB为等边三角形，

∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，

∴BH=√3OH＝2√3，

∴B点坐标为（2√3，2），

∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，

∴点B′的坐标是（﹣2√3，﹣2）．

故答案为（﹣2√3，﹣2）．

5．（2019·鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；

【答案】（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，

则有：n=3，3m+n=0，解得m=-1，n=3，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

∵点E、F关于直线x＝1对称，

又E到对称轴的距离为1，

∴EF＝2，

∴F点的横坐标为2，将x＝2代入y＝﹣x+3中，

得：y＝﹣2+3＝1，

∴F（2，1）；

根据对称得点的横坐标，再代入

6．（2019·菏泽）如图，直线y=-3/4x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是　  　．

【答案】解：∵直线y=-3/4x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，

∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0．﹣3），

∴OA＝4，OB＝3，

∴AB＝5，

设⊙P与直线AB相切于D，

连接PD，

则PD⊥AB，PD＝1，

∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，

∴△APD∽△ABO，

∴PD/OB=AP/AB，

∴1/3=AP/5，

∴AP=5/3，

∴OP=7/3或OP=17/3，

∴P（-7/3，0）或P（-17/3，0），

故答案为：（-7/3，0）或P（-17/3，0）．

7．（2019·广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=√3/8x2+(3√3)/4x-(7√3)/8与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．

（1）求点A、B、D的坐标；

【答案】解：（1）令√3/8x2+(3√3)/4x-(7√3)/8=0，

解得x1＝1，x2＝﹣7．

∴A（1，0），B（﹣7，0）．

由y=√3/8x2+(3√3)/4x-(7√3)/8=√3/8（x+3）2﹣2√3得，D（﹣3，﹣2√3）；

备注：根据函数列方程求坐标

8．（2019·丹东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1/2x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y=-1/2x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求点N的坐标．

【答案】抛物线的表达式为：y=-1/2x2+3/2x+2…①；

（2）抛物线的对称轴为：x=3/2，

点N的横坐标为：3/2+7/2=5，

故点N的坐标为（5，﹣3）

9．（2019·盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．

（1）求A、B两点的横坐标；

【答案】解：（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，

解得：x＝1或2，

故点A、B的坐标横坐标分别为1或2；

四、难点

下题是需要根据条件建立等量关系，列方程解答的方式。也就是说求点坐标可以直接求的，也可以间接列方程求的，难易有别。

本题仍然与三角函数有关。

17．（2019·荆门）如图，在平面直角坐标系中，函数y=k/x（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为　(3+√5)/2　．

【解答】解：过点N、M分别作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，

∵△AOB是等边三角形，

∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°

∵又OM＝2MA，

∴OM＝2，MA＝1，

在Rt△MOD中，

OD=1/2OM＝1，MD=√(2^2-1^2 )=√3，

∴M（1，√3）；

∴反比例函数的关系式为：y=√3/x，

设OC＝a，则BC＝3﹣a，NC=√3/a，

在Rt△BCN中，

NC=√3BC，

∴√3/a=√3（3﹣a），

解得：x=(3+√5)/2，x=(3-√5)/2（舍去）

故答案为：(3+√5)/2，

利用角平分线的性质作垂线，本题主要考查“双角平分线”的性质

28．（2019·徐州）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=9/x的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．

（1）求∠P的度数及点P的坐标；

【解答】解：（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．

∴∠PMA＝∠PHA＝90°，

∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，

∴△PAM≌△PAH（AAS），

∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，

同理可证：△BPN≌△BPH，

∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，

∴PM＝PN，

∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，

∴四边形PMON是矩形，

∴∠MPN＝90°，

∴∠APB＝∠APH+∠BPH=1/2（∠MPH+∠NPH）＝45°，

∵PM＝PN，

∴可以假设P（m，m），

∵P（m，m）在y=9/x上，

∴m2＝9，

∵m＞0，

∴m＝3，

∴P（3，3）．