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1、（2020年南平市质检）在平面直角坐标系中，点A，B 且点A与点B关于直线y＝x对称，C为AB的中点，若AB=4，则线段OC 的长为  【分析法一】如下图，过点B作BD⊥y轴，过点C作CD⊥x轴， ∵点A与点B关于直线y＝x对称， ∴∠OCB＝90°，CO与x轴的夹角为45° ∵C为AB的中点，若AB=4， 所以，易证△CDB为等腰直角三角形，斜边BC＝2 ∴CD＝BC＝√2 设C（a,a） 则B（a+√2,a-√2）,因为点B在   ∴（a+√2）（a-√2）＝2 解得a＝2或a=-2(不符题意，舍去) ∴C（2，2） ∴OC＝2√2 【分析法二】如下图，过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，过点 B 作 BE⊥y 轴于点 E，AD，BE 相交于点 F，由题意可知，点 O，F，C 在直线 y＝x 上，四边形 EODF 为正方形，△AFB 等腰直角三角形，∠AFB=90°，AF=BF． ∵AB =4，C 为 AB 的中点， AF=BF= 2√2 ，FC=2， 设正方形 EODF 的边长为 a， 则点 A（a，a+2√2 ），点 B（a+2√2 ，a）．   2、（2020年漳州市质检）已知矩形ABCD的四个顶点在反比例函数y=k/x（k＞0）的图象上，且AB=4，AD=2，则k的值为 ． 【分析】由于双曲线关于直线y=x成轴对称，又关于原点成中心对称， 所以，如下图，过点C作x轴的平行线交直线y=x于点E，连结BE，由轴对称图形的性质易得EB＝EC，且∠BEC＝90°； 分别过点C、D作y轴、x轴的平行线，交点为点F，易得△CDF为等腰直角三角形，设D（a,a）,可得点C、B的坐标如图所示.  由于点B、D关于原点O成中心对称，可得  3、（2020宁德市质检）如图，点A，B，C在反比例函数y=-4/x的图象上，且直线AB经过原点，点C在第二象限上，连接AC并延长交x轴于点D，连接BD，若△BOD的面积为9，则AC/CD= ．  【分析】首先说明如下图中，DF＝AE. 点A、C是双曲线y=k/x上的两点，AE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，连结EF，可证明AC∥EF（证明过程可参考2020年质检卷'反比例函数中的面积'问题中知识小结的[7],也可连结AF、CE，证明△AEF、△CEF的面积相等，都等于0.5k,得到点A、C到EF的距离相等，所以AC∥EF），又AE∥DF，所以四边形AEFD是平行四边形， 所以，DF＝AE.  设点A、C的坐标如下图所示，则可表示出图中相关线段的长度.由于双曲线关于原点O成中心对称，所以AO＝BO， ∴S△AOD＝S△BOD＝9.   4、(2020泉州市质检)如图, 四边形ABCO为矩形，点A在反比例函数y=4/x(x>0)的图象上，点C在反比例函数y=-1/x(x<0)的图象上.若点B在y轴上，则点A的坐标为________. 【分析】如下图，分别过点C、A作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，连结CA交y轴于点F， 由一线三等角模型易得△CDO∽△OEA ∴CD/OE=OD/AE ∴CD×AE=OE×OD ∵a>0,b>0 ∴ab=2……① ∵点F是线段AC的中点，且在y轴上 ∴－b+a=0…….② |
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