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在几何中常出现两个相似的图形有公共的顶点，进而产生了各种相似与全等的问题。也就是大家熟知的手拉手模型。 本文题目选自以下地区： 2019·鞍山、2019·烟台 2019·深圳、2019·眉山 2019·宜宾、2019·聊城 2019·潍坊、2019·南充 2019·菏泽、2019·滨州 【中考真题】 （2019·宜宾）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上，AD与BE、BC分别交于点F、M，BE与CD交于点N．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）． ①AM＝BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+∠FNC＝180°；④1/MN=1/AC+1/CE 【分析】本题中两个等边三角形有公共的顶点，且一组边在一条直线上。 本图有很多结论，其中最关键的就是利用SAS证明△ACD≌△BCE。有了这个结论之后，就可以得到很多的边角关系，进而得到结论。 对了，一般4个选项中，都是有3个是正确，其中一个是错误的。而且结论越复杂，一般正确率越高。 当然，考试还是少一点蒙，多一点实力！ 【答案】①③④ 【解析】证明：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE， 在△DMC和△ENC中， ∠MDC=∠NEC，DC=BC，∠MCD=∠NCE=60°， ∴△DMC≌△ENC（ASA）， ∴DM＝EN，CM＝CN， ∴AD﹣DM＝BE﹣EN，即AM＝BN； ②∵∠ABC＝60°＝∠BCD， ∴AB∥CD， ∴∠BAF＝∠CDF， ∵∠AFB＝∠DFN， ∴△ABF∽△DNF，找不出全等的条件； ③∵∠AFB+∠ABF+∠BAF＝180°，∠FBC＝∠CAF， ∴∠AFB+∠ABC+∠BAC＝180°， ∴∠AFB＝60°， ∴∠MFN＝120°， ∵∠MCN＝60°， ∴∠FMC+∠FNC＝180°； ④∵CM＝CN，∠MCN＝60°， ∴△MCN是等边三角形， ∴∠MNC＝60°， ∵∠DCE＝60°， ∴MN∥AE， ∴MN/AC=DN/CD=(CD-CN)/CD， ∵CD＝CE，MN＝CN， ∴MN/AC=(CE-MN)/CE， ∴MN/AC=1-MN/CE， 两边同时除MN得1/AC=1/MN-1/CE， ∴1/MN=1/AC+1/CE． 故答案为①③④ 【举一反三】
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