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中考数学关于正方形中的相似三角形和全等三角形的压轴题，有时让人有一种像是在玩迷宫的感觉。如果没有找到突破口，就怎么也转不出来，很有可能把自己给转迷糊了，因此平时一定要多练，积累经验，才有可能在中考考场上完成这种“迷宫游戏”。 如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转90度得到CF，连结DF，以CE，CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD、AC分别交于点H、M，GF交CD延长线于点N. (1)证明：点A，D，F在同一条直线上； (2)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？假设有，求出最小值；假设没有，请说明理由； (3)连结EF，MN，当MN//EF时，求AE的长.  分析：(1)这类几何压轴题，往往连第(1)小题都要求有较好的逻辑思维能力。这里可以通过证明CD垂直于FD，以及正方形的性质，CD垂直于AD，来确定A，D，F三点在同一条直线上，依据是“过一点D，有且只有一条直线垂直于直线CD”。也可以通过证明角CDF是直角，加上正方形的内角ADC也是直角，从而知道角ADF是一个平角，来证明A，D，F三点在同一直线上。两种证明方法，原理上是相同的。证明三点在同一直线上这类题型，往往是学生最薄弱的。 (2)利用相似三角形边的比例关系，列出DH关于BE(或AE)的二次函数，化为顶点式，自然就有答案了。也可以列AH关于BE(或AE)的二次函数，化为顶点式，得到AH的最小值，自然就有DH的最大值了。因为DH=AD-AH=1-AH. (3)开始转“迷宫”。如果老黄不直接告诉大家“出口”在哪里。你能找到“出口”吗？当然，这类“迷宫”的“出口”肯定不只一个。但有些好走，有些难走。 这个小题，老黄找的“出口”是AM=AH，运用的方法是方程法。从“出口”倒推到自己目前所处的位置（已知条件）：只要证明AM=AH，就可以由AM=AC-CM，而AC易化为关于AE的式子，CM则等于CN，利用相似三角形的边的比例关系，就能找到含AE的式子来表示CM，加上第(2)小题，已经得到AH关于AE的表达式，或者可以推出这个表达式，从而列得关于AE的一元方程，并解得AE。而要证明AM=AH，可以通过证明三角形AMH是一个等腰三角形来实现，只要通过角的等量替换关系就可以做到。CM=CN则可以通过全等三角形的关系证明。 下面组织解题过程： 证明：(1)由旋转的性质有CF=CE，∠ECF=90度，∴∠DCN=∠BCE(同角等余) 又CD=CB, ∴△DCN≌△BCE(SAS)，∴∠CDE=∠B=90⁰， 又∠ADC=90⁰，∴点A，D，F在同一条直线上. 解：(2)易证△AEH∽△BCE，∴AE:BC=AH:BE, AH=AE·BE/BC=AE(1-AE)=-AE^2+AE=-(AE-1/2)^2+1/4, 即，当AE=1/2时，AH=1/4最大，DH=3/4最小. (3)当MN//EF时, 易证△CEM≌△CFN, ∴CN=CM, 又∠AMH=∠CME，∠AHM=∠EHG，且∠CME=∠EHG, ∴∠AMH=∠AHM. ∴AM=AH, 又△CFN∽△CBE, ∴CN/CE=CF/CB=CE, CN=CE^2=BC^2+BE^2=1+(1-AE)^2=AE^2-2AE+2, AM=AC-CM=根号2AB-CN=根号2-AE^2+2AE-2=-AE^2+AE, 解得：AE=2-根号2. 这类“迷宫”问题，就算转不出来，也千万不要放弃，只要在“迷宫”中的各处标上记录，就是多证明一些线段相等，角相等，三角形相似或全等，这些都有可能拿到分数。最后就算走不出来，也不会被扣多少分，也就扣一分或者两分罢了。 |
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