一、全等三角形证明条件归类: 从全等三角形证明的四种证明方法(边角边、角边角、角角边、边边边)来看: ①已知两边对应相等,第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等 或 找第三边对应相等; ②已知两角对应相等,第三个条件可以找已知两个角的夹边对应相等 或 已知的两个角中的某个角的对应边相等; ③已知一边和一角对应相等,第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等 或 是另一角对应相等 。 综上:如何才能找到证明全等三角形的第三个条件呢?根据以上分析分为两种情况: 1、再找一组对应边相等;2、再找一组对应角相等。 二、对应边相等的情形: 1、公共边是第三个条件 例题1、如图,在△ABC 和 △ABD 中,AC = BD ,AD = BC ,求证 : △ABC ≌ △ABD 例题1图 证明:在 △ABD 和 △ BAC 中 ∵ BD = AC , BC = AD , AB = BA (公共边) ∴ △ABC ≌ △ABD (SSS) 2、相等对应边 + 公共边的和 对应相等 例题2、如图,AB = CD ,AE = DF , CE = FB ,求证 :△ AEB ≌ △DFC 例题2图 证明: ∵ CE = FB ∴ CE + EF = EF + FB (即 CF = BE) ∵ AB = DC , AE = DF ,CF = BE ∴ △ AEB ≌ △DFC (SSS) 3、相等对应边 - 公共边的差 对应相等 例题3、如图,DF = CE , AD = BC , ∠D = ∠C , 求证:△AED ≌ △BFC 例题3图 证明: ∵ DF = CE ∴ DF - EF = CE - EF, 即 DE = CF 在 △AED 和 △BFC 中 ∵ AD = BC , ∠D = ∠C ,DE = CF ∴ △AED ≌ △BFC (SAS) 4、等边三角形的三边相等(等腰三角形两腰相等) 例题4、如图, △ABC 和 △CDE 都是等边三角形 ,求证 :△ACD ≌ △BCE 例题4图 证明: ∵ △ABC 和 △CDE 都是等边三角形 ∴ AC = BC , CD = CE , ∠ACB = ∠DCE = 60° ∴ ∠ACB + ∠ACE = ∠DCE + ∠ACE 即 ∠BCE = ∠ACD 在 △BCE 和 △ACD 中 ∵ BC = AC , ∠BCE = ∠ACD , CE = CD ∴ △BCE ≌ △ACD (SAS) 5、添加辅助线与对应的线段相等 例题5、如图,已知 AD 是 △ABC 中 ∠A 的角平分线,AC = AB + BD ,求证:∠B = 2∠C 例题5图 证明:延长 AB 取点 E ,使 AE = AC , 连接 DE ∵ AD 平分 ∠BAC ∴ ∠EAD = ∠CAD ∵ AE = AC , AD = AD ∴ △AED ≌ △ACD (SAS) ∴ ∠E = ∠C ∵ AC = AB + BD ∴ AE = AB + BD ∵ AE = AB + BE ∴ BD = BE ∴ ∠BDE = ∠E ∵ ∠ABC = ∠E + ∠BDE ∴ ∠ABC = 2∠E ∴ ∠ABC = 2∠C 6、二次证全等找到对应的线段相等 例题6、如图,已知 ∠A = ∠D = 90° ,AE = DE , 求证 : △ABC ≌ △DCB 例题6图 证明: ∵ ∠A = ∠D , AE = DE , ∠AEB = ∠DEC (对顶角相等) ∴ △AEB ≌ △DEC (ASA) ∴ EB = EC ∵ EB + ED = EC + AE ∴ DB = AC 在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中 ∵ ∠A = ∠D = 90° , AC = DB , BC = CB (公共边) ∴ △ABC ≌ △DCB (HL) 三、对应角相等的情形: 1、公共角相等 例题7、如图,CA⊥BF 于点 A ,BE⊥CF 于点 E ,若 AC = BE , 求证 : △AFC ≌ △EFB 例题7图 证明: ∵ CA⊥BF ,BE⊥CF ∴ ∠CAF = ∠BEF= 90° 在 △AFC 和 △EFB 中 ∵ ∠CAF = ∠BEF ,∠F = ∠F (公共角),AC = BE ∴ △AFC ≌ △EFB (AAS) 2、对顶角相等 例题8、如图,AE 和 BC 相交于点 M ,点 F 在 AM 上,∠CFM = ∠E ,BE = CF , 求证 : △BEM ≌ △CFM 例题8图 证明略 3、平行线截得的同位角或内错角相等 例题9、如图,E, F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点,AF = CE ,DF = BE ,DF∥BE 。 求证:(1)△AFD ≌ △CEB ;(2)四边形 ABCD 是平行四边形吗?请说明理由。 例题9图 证明:略 4、同角(或等角)的余角(或补角)相等 例题10、在 Rt△ABC 中,∠C = 90° , CD⊥AB 于点 D , 求证:(射影定理) (1)AC^2 = AD · AB ; (2)BC^2 = BD · AB ; (3)CD^2 = BD · AD 。 例题10图 思路: 找出图中的 3组 相似三角形,根据每组相似三角形对应边成比例来证明。 证明略。 |
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来自: 当以读书通世事 > 《073-数学(大中小学)》