|
俗话说，习惯成自然，当一件事变成了习惯后，我们往往就觉得理所当然置若罔闻了。正如今天我们坐在电脑前面，喝着咖啡或奶茶，吹着空调或烤着暖气，动动手指滑滑鼠标画出个帅炸天的3D模型，还洋洋得意以为是一己之力完成的杰作，却完全没有意识到这其实是千百年来前仆后继的科学家和工程师们殚精竭虑得来的结晶。 有人说，站在巨人的肩膀上，站得高看得更远；冰大说，站在巨人的肩膀上久了，就不记得踩着的是别人肩膀了。 从今天开始，就跟冰大一起，放下远方的诗歌，俯下只向上看的头颅，看看正在我们脚下吃土的前辈巨人们，关注下为我们今天的拉伸旋转实体化打下坚实基础的伟大数学家。不忘初心，方能致远。当然，三句不离本行，我们主要关注的是这些前辈巨人在图形学上的贡献，至于其它成就，就留给大家自己探索了。 首先，让我们迎接的第一位前辈巨人：瑞士数学家和物理学家-欧拉（Leonard Euler），至于为何第一个是欧拉，看完就明白。  右眼失明的欧拉 初识欧拉，源自小时从家里角落挖出的一本被虫蛀成丹霞地貌的数学科普书上，里面内容主要是通过各种各样有趣的题目来介绍数学定理。作为当时农村低年级小学生的我，能看懂的实在非常有限，但里面诙谐搞笑的插图还是吸引了我继续翻下去，最终见到了柯尼斯堡七桥问题。七桥问题很简单：能否一次不重复地走完下图所有七座桥？在现在信息爆炸的年代，相信很多人都看过这个问题知道答案了，可当时的我没有这么幸运了。  七桥问题 在经历了无数次失败后，终于投降去翻答案。结果，悲催的是，最后答案的那几页完全被虫蛀掉了！问题就此成为当时小小的我的一块心病。已经不记得什么时候在哪里终于看到答案了，只知道在得到答案后很长时间内它成了我向大小伙伴们显摆的秘技了，在各种一笔画打赌中收获了零食若干，崇拜成吨。事实证明，显摆是培养小孩子兴趣的最有效途径。 要想培养孩子对某方面的兴趣，最有效的方式是先帮助他/她掌握该方面几个可以用来显摆的技能。 闲话少说，回到正题。1988年，著名的杂志《数学信使》（Mathematical messenger）组织了一次投票选举史上最优美的数学定理的活动，结果在中奖结果中前五名有四条定理都是同一个人证明的。当然，提示这么明显，你不可能再猜错，那个人确实就是欧拉。或许你不知道《数学信使》有多权威，但你只需要看看它敢于组织这样的投票并且到现在依然为世人所认同就够了。其它人的定理我们暂时不管，就只来看看欧拉。 第一名：欧拉公式  欧拉公式特例 这就是人见人爱花见花开妹子见了马上倾心的史上第一数学公式：欧拉公式。据说这条公式是很多理科男用来泡妹子的必杀技(可惜作者知道的时候已经过了泡妹子的年龄)。最美数学公式美就美在五毒俱全，它把数学中的五个最重要常量e、i、π、0和1都包括进去了，而且还用的是最节约的方式，真正的“增之一分则太长，减之一分则太短”。据说联合国安理会设立五个常任理事国席位就是受到这个公式的启发（谁信谁负责）。 其实，欧拉自己并没有直接提出过这样的公式，欧拉考虑的是更一般化的规律。真正的欧拉公式本来是这样的（别问我干什么用的）。  欧拉公式完整形式 在这个公式里，包括了微积分里最重要的三个量e,cos和sin以及复数量i，而且还具有对称美和不称美。显然特例只不过完整公式当x=π的时候的特例，不过，考虑到绝大多数妹子的理解能力和耐性，饥渴的理科男们果断把票投给了更直接的形式（纯属推测）。 在物理学里，也有个和欧拉公式相互辉映的公式，没错，正是爱因斯坦的质能方程。两条公式构成了理科公式界的倚天屠龙绝代双骄，你要是现在还不知道，别怪将来孩子鄙视你。  质能方程 第三名：质数有无穷个  ζ函数 ζ函数，这个不用解释，光看公式就是牛到上天的感觉了，欧拉在这条公式里再一次（往后看便明白）展现了他在无穷级数计算上的超凡能力。ζ 函数可以说是数论中最最重要的公式了，迄今为止，人类对于质数的分布的大部分知识都来源于对ζ 函数的研究。 第四名（排行榜第五）：贝塞尔问题  贝塞尔问题 美，真的美；妙，真的妙！看到这样的公式，我想就算完全不懂有何意义，也会觉得奇妙而不可思议，光是每天看一看，就能让人帅几分。这是1735年28岁的欧拉完成的壮举，一举震惊了整个数学界。这个公式最神奇的地方是一群有理数加到一起，结果却变成了一个无理数，还是无理数中最无理那个，还是无理数中最无理那个的平方！真是公说公有理，婆说婆有理，一起就是不讲道理了哈哈。 说到这里，可能会有眼尖的同学觉得不对劲了，不是说好有四个嘛？第二跑哪里去了？看来冰大还是年纪大了开始健忘了。小同学，不要急，就算冰大牙掉光了，也不可能忘了第二名的！ 因为，第二名，才是我们今天的重点。 第二名：多面体公式 V-E+F=2 你没看错，就是这么简单(现在小学数学课本上都有了)！公式里： V是多面体顶点数 E是多面体边数 F是多面体面数 结果2被称为欧拉示性数。在这个公式里，欧拉告诉我们，看起来毫无规律的多面体，都遵循着同一规律，用中文来表达就是：点-边+面=2。事实上，欧老爷子在发表这个发现犯了个小错，他认为是所有的多面体都符合这公式，忽略了有“洞”的甜甜圈系列形状，因此V-E+F=2严格来说应该叫凸面体公式。 所谓的凸面体也是类球体，如我们常见的长方体，V=8,E=12,F=6,8-12+6=2。但数学上的凸面体又不等同我们习惯认为的表面没有凹坑的类球体，数学上把没有“洞”的多面体定义为凸面体，而不管它的形状如何，比如下面三个不同的形状都是凸面体。所谓的“洞”我们一看就明白，但是要在数学上定义一个“洞”却是大费一番周折了。下面的几个多面体就都是凸面体  想象一下多面体的所有表面都是橡皮面，通过往多面体内部鼓满足够的空气，凸面体最终会变形成一个球体或类球体。 这是一个和我们画图届紧密关联的公式，其实最早不是欧拉发现，而是我们画图届的另一个高人，到现在我们依然每天要和他打招呼，他就是数学家（笛卡尔坐标发明者）兼哲学家（我思，故我在！）笛卡尔。笛卡尔通过研究不同的多面体推测出了这个结论，从而推测出正多面体只有五个(这是排行榜第四名的定理）。  5种正多面体 虽然发现者是笛卡尔，但是作出严格证明并最终推广到一般情况、让世人所知是欧拉。因此后来人更愿意把这个荣誉加到欧拉身上。 不少画图的可能都会遇到过老板这样的要求：“在球面画上均匀分布的六边形花纹”，“在球迷上均匀放置30个灯泡”，诸如此类的正多面体，特别是在照明灯光、玩具等行业更是会经常接触到。要求看起来很简单，你也觉得正是显露身手的大好时机，可是很快到就会发现自己上了贼船。要怪只能怪你小学只顾给女同桌偷带零食，长大又只看欧冠不看欧拉了。那球面上到底能不能均匀分布六边形呢？下面我们就用凸面体公式来算一算。  至于为何只存在那么有限几种正多面体，相信大家按照类似的方法和步骤不难推导出来。 算到这里，估计有同学会说，不对，实际生活中确实有这样的多面体存在啊，比如足球！有图有真相！马上贴图上来  足球 然后，然后。。。。。。。。。。。。就没有然后了。很快他就会发现，足球原来并不是正多面体，它是由正五边形和正六边形组成。 现在估计很多同学都知道是由12个五边形和20个六边形组成的了。但我们该如何利用欧拉等式来求解呢？ 所以，下次如果你碰到老板要求你在表面上均匀分成xx个三角形和xx个5边形之类的组成，记得在动手前先祭拜下欧拉神，然后请欧拉老爷子出来帮帮忙，认真算算理论上是否可行，不要通宵了N个晚上后才跟老板说我做不了，到那时。。。。哼哼。 不过，虽然正多面体只有上面有限的5种，但是在这个5种正多面体基础上针对每个正多面形进行分割还是可以实现很多种近似正多面体的类均布多面体的，这些都可以应用于灯饰等需要散光的场合的。 前面我们说欧老爷子当初发表多面体公式的时候犯了点错，多面体该是凸面体，那多面体除了凸面体还有哪些类型呢？多面体的类型主要根据它具有的“洞”数来划分的，不同数目的“洞”数对应的欧拉示性数不同，比如有一个洞的“甜甜圈”环面体，此时V-E+F=0。欧拉示性数等于0. 甜甜圈和救生圈 甜甜圈就如救生圈，不管怎么鼓气也不会变成一个馒头或皮球。其中V=4 E=8 F=4，所以V-E+F=0 欧拉多面体公式的发表，由此带来了拓扑学的发轫，数学界又开辟出了一番新天地，而欧拉依然是那个披荆斩棘的先行者。 优美公式的霸榜已经足以显示欧拉伟大了，公式背后展示出来的敏锐数学直觉和强大的计算和归纳能力是真正的才气侧漏。事实上，从欧拉发现的其他公式里再抽出六个，也完全可以跻身最优美数学公式行列。但如果你以为欧拉只是沉醉于追求公式优美的纯数学上，那就大错特错了。欧拉对实际问题的解决同样非常精通，涉及领域之多，范围之广，研究之深在今天的我们看来，依然是匪夷所思的。下面就是欧拉所取得的成就一小部分： 创造了π，i，e，sin和cos，tg，△x，Σ，f(x)等数学符号，今天我们依然在使用。
在我眼里，欧拉要比其他伟大数学家更伟大那么一点点，要明白这点，我们要先回去看看在于欧拉身处那个时代。17世纪到18世纪是数学的黄金时代，但也是个充满竞争人人期盼脱颖而出的时代，大部分数学家都非常保守，自己的研究成果轻易不对外公开，以期在和别人的竞争中保有先机，比如下面这些欧拉的前辈们：
牛顿 但欧拉不一样，乐于分享又甘于退居荣誉二线，欧拉生前写下并发表了大量的论文（800多篇）和著作（50多部书籍），在生命的最后17年里，他所在的科学院完全无法跟上他著书立说的节奏，以至于在他逝世50年间依然在不停地发表欧拉的文章！欧拉真不愧是显摆界的老祖宗。 王阳明如果泉下有知，在遥远的西方有这么个人完美地诠释知行合一的话，我想他要笑醒了。有些人，开挂的人生真的会让你怀疑自己到底是否和他是同一个物种，欧拉就是这样的人。 今天，绝大部分有关数学的信息都不存在专利，而是公开供大家分享（极个别例外），不得不说是我们托了欧老爷子的福。 有些人值得永远被铭记，而欧拉，三维软件用户必须要膜拜！ |
|
|
来自： 坚持最后5分钟 > 《中年危机20200410》
