数学上最伟大的公式之一：欧拉公式的推导与证明

欧拉公式：

它是最著名的公式之一，它说明了复指数函数和三角函数之间的关系。它还提供了笛卡尔坐标和极坐标之间的有效转换。因此，可以在许多数学分支，物理学和工程学中找到欧拉公式。

其中e是自然对数的底，i是虚数单位，并且θ∈C，e^i称为单位复数。

欧拉公式的证明:

欧拉公式的推导是基于指数函数e^z和三角函数sin(x)和cos(x)的泰勒级数展开，其中z∈C, x∈R。

指数函数e^z的泰勒级数展开我们得到:

现在，让z=ix有以下形式:

我们对上式进行化简，并且由于i^2 = -1得到：

重新排列右边的项，将所有 i 项放在最后，得到:

我们在结合cos和sin的泰勒级数展开式：

因此，它简化为

这就是著名份欧拉公式

最后，当我们计算x = π的欧拉公式时，得到

它对应的几何图形就是

最终得到一个将e,i,π,1,0，联系起来的公式