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要论起来聪明才智，极少有人能超过约翰·冯·诺伊曼，他作为现代计算机的设计师和博弈论的创始人，因其快如闪电的心算和过人记忆力而成为传奇。 有个关于他的故事：曾经有人向他提出了一道问题。两个骑自行车的人从长 20 英里的路两端相对出发，速度是每小时 10 英里匀速行驶。当最开始时，一只停在其中一辆自行车前轮上的苍蝇开始以每小时 15 英里的速度向另一辆自行车飞去。当它到达那里时，立即扭转方向回飞，再向第一辆自行车飞去，然后又飞回第二辆，如此反复。它不断地来回飞，直到最后自行车相遇时，它被挤在前轮之间。问在被压扁之前，这只苍蝇总共飞了多远？ 这个问题听起来很棘手，苍蝇来回飞行距离由无限多的部分组成，每一部分都比前面的部分要短，把它们加起算清楚似乎是一项艰巨的任务。
当时，冯-诺伊曼听过这个难题时，立即就答到：'15 英里'。提问者显得有点失望：'你也发现了这个窍门。' '什么？我只不过对无穷级数进行求和计算。'冯·诺伊曼笑道。  无穷级数——遵循某种规则的无穷数字、变量或函数之和。在微积分这出大戏里，导数和积分自然是出尽了风头，而无穷级数也占有重要一席之地。 那么为什么要研究它们呢？无穷级数有助于寻找困难问题的近似解，也有助于说明数学严谨性的微妙之处。只不过对于无穷级数的介绍，课堂上老师往往没有给出现实世界的实际应用，而少数出现的示例，比如年金、抵押贷款、化疗方案的设计，对于学生而言来说似乎很遥远。 学习无穷级数最令人信服的理由（我是这么告诉我的学生的）是它们是非常重要连接工具，揭示了数学不同领域之间的联系。只有当触及到了微积分的这一部分后，真正数学世界的大门才被推开，其真正结构展示出来。 在我解释之前，让我们看一下另一个涉及无穷级数的问题。逐步解决它将阐明冯·诺伊曼是如何解决上面苍蝇飞行问题，并且为更广泛地思考无穷级数问题奠定基础。
就这样，取个均值价格似乎也不错，但如果你读过一本谈判手册《无限讨价还价的艺术》，就会接着用下一个的提议来再砍价，可以分担均值，只不过现在是在 12 美元与 18 美元之间：'15 美元，就这么定了。' '哦，不，我的朋友，那我就亏了，16.5 美元吧。'卖家说，这种情况一直持续下去，直到你们的价格趋于一致。那么这个终极价格是什么？ 答案是一个无穷序列之和。要想知道它是什么，请观察一下，连续的报价都遵循下面这个模式。
关键是等号左边的数字是由右边不断延长的数值序列地建立起来的。序列中出现的每个数字（）都是上一项的绝对值的一半，但符号相反。因此，在极限中，你和卖家将同意的价格 就是 公式里的省略号就意味着这个序列将永远持续下去。 与其在这样一个无限长的表达式上绞尽脑汁，我们可以玩一个数学里常用的狡猾技巧，使问题求解变得简单，它允许我们消去那些令人困惑的无限项，只给留下一些简单的余项来得到答案。
具体来说，让我们把上式两边都加倍。因此有 这对解决问题有什么帮助？请注意， 中的无限项几乎与 本身相同，只有第一项 不同，余下数字的正负号都是相反的。因此，如果我们把 的数列加到 的数列上，其他一切都会成对抵消。所以 ，意味着 ，因此 这就是你在讨价还价后最终为这顶帽子所付的钱。 苍蝇飞行问题也遵循类似的数学模式。只要稍加思考，就可以推断出，苍蝇的每一段来回路程都是前一段路程的 。冯·诺伊曼会发现，对由此产生的'几何数列'进行求和是小菜一碟，这是我们一直在考虑的一种特殊数列，其中所有连续的项都有相同的比率。对于苍蝇问题，公比是 ，而对于讨价还价的问题，公比为 。 一般来说，任何几何数列 的形式为： 其中 是公比， 是所谓的首项。如果比率 在 和 之间，就像我们的两个问题一样，上面使用的技巧可以通过不乘以 而是乘以 来调整，以表明数列的和是 具体来说，对于砍价问题， 是 美元， 是 。把这些数字代入公式中，立即就得到 ，等于 美元。 这是苍蝇在来回旅程的第一段路程中所走过的距离，所以要计算它，我们必须弄清楚以飞行速度每小时 英里的苍蝇在哪里与以每小时 英里的速度接近它的自行车相遇。因为它们的速度形成了 ，也就是 的比例，它们相遇时，苍蝇已经走了最初 英里距离的 ，即 英里。 类似的推理显示，苍蝇每次回转飞行时，距离都会以 的比例缩小。这些过程，冯·诺伊曼不过是瞬间考虑完毕，利用 公式，给出苍蝇飞行的总距离。 现在回到更一般的问题上：像这样的数列是如何起到连接数学各部分的作用的？要看到这一点，需要站得更高一点，考虑下面等比数列的求和公式()： 与其把 看作是一个特定的数字，如 或 ，不如把 看作一个变量。然后这个公式说了一些惊人的事情；它表达了一种数学点金术，好像铅可以变成金子一样。它断言，一个给定的 的函数（这里是 ）可以变为数学上更容易处理的东西，如 的简单幂次的组合，比如 和 等等。 奇妙的是，在科学和工程中几乎随处可见的大量其他函数也是如此。微积分的先驱们发现，他们所熟悉的所有函数，正弦和余弦、对数和指数函数都可以转化为幂级数。 而当他们进行这些转换时，会得到了惊人的结论。例如，这里是余弦、正弦和指数函数的幂级数。
特别注意， 函数的幂级数看起来似乎非常像上面两个公式的混合。只要 和 中正负符号的交替再相加。 正是这种巧合，让莱昂哈德·欧拉发现了数学史上最令人惊叹和影响深远的公式之一：欧拉公式。  其中 是虚数，定义为 。 欧拉公式表达了一种数学中最非凡的联系，它断言正弦和余弦，即周期和波，与指数函数存在着这样关联，即体现增长和衰减--但只有当我们考虑 在复分析领域（暂不管那意味着什么）。 欧拉公式可以由无穷级数直接验证出来，现在是电气工程、量子力学和所有与波浪和周期有关的技术学科中不可缺少的概念。 文至此处，我们可以迈出最后一步，来看经常被描述为所有数学中最美丽的方程——欧拉恒等式，其实也就是欧拉公式的一种特殊情况，即 的情形。  欧拉恒等式连接了数学中最著名的几个常数。每一个数都象征着整个数学的一个分支，这样一来，这个方程可以被看作是某种数学之光的汇聚，数学统一性的证明。
当我还是个孩子时，父亲告诉我，数学就像一座金字塔。一个概念建立在下一概念之上，加法建立在数之上，减法建立在加法之上。就这样，通过代数、几何、三角学和微积分，一直上升到 '高等数学'--这是一座高耸入云的结构。 但是一旦我了解了无穷级数，就不能再把数学看作是一座塔。它也不是一棵树，它的不同部分并不是分裂开来、各奔东西的枝丫。在我看来，数学是一张网，它的所有部分都相互连接支持。数学的任何部分都不能从其他部分中割裂开来，它是一个网络，有点像一个神经系统。或者说，就像个复杂奇妙的大脑。 英文: quantamagazine.org/how-infinite-series-reveal-the-unity-of-mathematics-20220124 |
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