|
作者：Steven Strogatz 2022-1-24 译者：zzllrr小乐 2022-2-2 无限求和是数学中最被低估但最强大的概念之一，能够连接数学广阔网络中的众多概念。 就纯粹的才华而言，我们很难击败约翰·冯·诺依曼。作为现代计算机的建筑师和博弈论的发明者，冯·诺依曼是传奇人物，尤其是因为他闪电般的心算。 传说有一天，有人用一个谜题挑战他。两名骑自行车的人从一条 20 英里长的道路的两端出发。每个骑自行车的人以每小时 10 英里的速度向对方行驶。当他们开始时，一只坐在其中一辆自行车前轮上的苍蝇起飞并以每小时 15 英里的速度向另一辆自行车飞去。一旦它到达那里，它立即转身并飞回第一辆自行车，然后回到第二辆，依此类推。它不断地来回飞行，直到当自行车相撞时它最终在两个前轮胎之间被挤压。苍蝇在被压扁之前总共飞了多远？ 听起来很难。苍蝇的往返旅程由无数部分组成，每个部分都比前面的部分短。将它们加起来似乎是一项艰巨的任务。 但是，如果您考虑骑自行车的人，而不是苍蝇，问题就变得容易了。在 20 英里长的道路上，两个以每小时 10 英里的速度接近的骑自行车的人将在 1 小时后在中间相遇。在那一小时里，无论苍蝇走哪条路，它一定已经飞了 15 英里，因为它的时速是 15 英里。 冯·诺依曼听到这个谜题，立刻回答说：“15 英里。”他失望的提问者说：“哦，你看到了诀窍。什么招数？”冯·诺依曼说：“我只是将无穷级数求了一下和。” 无穷级数——遵循特定规则的无限多的数字、变量或函数的总和——在微积分的伟大戏剧中扮演着小角色。虽然导数和积分正确地抢了风头，但无穷级数谦虚地站在一边。当他们确实出现时，它已经接近课程的尾声，因为每个人都在拖着自己越过终点线。 那么为什么要研究它们呢？无穷级数有助于找到难题的近似解，并有助于说明数学严谨性的细微之处。但除非你是一个有抱负的科学家，否则这都是一个大大的哈欠。此外，无穷级数通常在没有任何实际应用的情况下呈现。少数确实出现的东西——年金、抵押贷款、化疗方案的设计——对青少年受众来说似乎很遥远。 学习无穷级数（或者我告诉我的学生）最令人信服的原因是它们是令人惊叹的连接器。它们揭示了不同数学领域之间的联系，以及之前所有事物之间的意想不到的联系。只有当你进入微积分的这一部分时，数学的真正结构——所有的数学——才最终开始出现。 在我解释之前，让我们看看另一个涉及无穷级数的谜题。逐步解决它将阐明冯·诺依曼如何解决苍蝇问题，并将为更广泛地思考无穷级数奠定基础。 假设您想从街头小贩那里购买一顶精美的帽子。他要价 24 美元。“12美元怎么样？”你说。“让我们平分差价，”他回答说，“18 美元。” 通常这样会得到解决。平分差价似乎是合理的，但不适合你，因为你读过同一份谈判手册，“无限讨价还价的艺术”。你用你自己的提议来平分差价，除了现在它在 12 美元和桌子上的最后一个数字 18 美元之间。“那怎么样？”你说，“15 美元，这是一笔交易。” “哦，不，我的朋友，让我们再次平分差价，16.50 美元，”供应商说。直到你收敛到相同的价格之前，这一直是荒谬的。最终价格是多少？ 答案是无穷级数之和。要了解它是什么，请观察连续的报价遵循有序的模式： 24 他的要价 12 = 24 - 12 你的第一个报价 18 = 24 − 12 + 6 平分 12 和 24 之间的差 15 = 24 − 12 + 6 − 3 平分 12 和 18 之间的差 关键是等号左边的数字是从右边不断加长的数字序列系统地建立起来的。序列中出现的每个数字（24、-12、6、-3…）都是前面数字的一半，但符号相反。因此，在限制范围内，您和小贩达成一致的价格 P 是 P = 24 – 12 + 6 – 3 + … 其中三个点表示该数列将永远持续下去。 与其试图围绕这样一个无限长的表达式，我们可以执行一个巧妙的技巧，使问题变得简单。它使我们能够取消令人眼花缭乱的无限项集合，从而使我们的计算更加简单。 微积分的先驱们发现，他们熟悉的所有函数都可以转换成“幂级数”的通用货币。 具体来说，让我们将 P 加倍。这也会使右边的所有数字都加倍。因此， 2P = 48 – 24 + 12 – 6 + ... 这有什么帮助？观察到 2P 中的无限链与 P 本身中的链几乎相同，只是我们有一个新的领头的数 (48)，并且我们原始数字的所有正负号都颠倒了。因此，如果我们将 P 的数列添加到 2P 的数列中，则 24 和 12 以及其他所有东西都会成对抵消（除了 48），它没有对应物可以抵消。所以 2P + P= 48，意味着 3P = 48，因此 P = 16 美元。 这就是你在永远讨价还价之后为这顶帽子付出的代价。 苍蝇和两辆自行车的问题遵循类似的数学模式。稍加努力，你可以推断出苍蝇来回行程的每段旅程都是前一段旅程的五分之一。冯·诺依曼会发现对得到的“几何级数”求和是小菜一碟，这是我们一直在考虑的一种特殊级数，其中所有连续项具有相同的比率。对于苍蝇问题，这个比率是 1/5。对于讨价还价问题，它是 -1/2。 一般而言，任何几何级数 S 的形式为 S = a + ar + ar² + ar³ + ... 其中 r 是比率，a 是所谓的前导项。如果比率 r 介于 -1 和 1 之间，就像在我们的两个问题中所做的那样，上面使用的技巧可以通过不乘以 2 而是乘以 r 来调整，以表明级数的和是 S = a/(1–r) 具体来说，对于讨价还价问题，a 为 24 美元，r 为 -1/2。将这些数字代入公式得出 S = 24/[1-(-1/2)]= 24/(3/2) = 16，与以前一样等于 16 美元。 对于苍蝇问题，我们必须做一些工作才能找到前导项 a。这是苍蝇在来回旅程的第一站所经过的距离，因此要计算它，我们必须弄清楚以每小时 15 英里的速度行驶的苍蝇首先在哪里遇到以每小时 10 英里的速度接近它的自行车。因为它们的速度形成了 15:10 或者说 3:2 的比率，所以当苍蝇飞行了最初 20 英里间隔的 3/(3+2) 时，它们相遇，这告诉我们 a = 3/5 × 20 = 12 英里。类似的推理表明，每次苍蝇转身时，这一段旅程都会收缩 r=1/5。冯·诺依曼立即看到了这一切，并使用上面的 a/(1-r) 公式，找到了苍蝇飞行的总距离： S = 12/(1−1/5) = 12/(4/5) = 60/4 = 15 英里。 现在回到更大的问题：像这样的级数如何连接数学的各个部分？要看到这一点，我们需要扩大对公式的看法，例如 1 + r + r² + r³ + … = 1/(1−r), 这与之前的公式相同，a 等于 1。不要将 r 视为 1/5 或 -1/2 之类的特定数字，而应将 r 视为变量。然后这个等式说明了一些惊人的事情；它表达了一种数学炼金术，仿佛铅可以变成黄金。它断言 r 的给定函数（这里是 1 除以 1 - r）可以变成更简单的东西，即 r 的简单幂的组合，如 r² 和 r³ 等等。 由无穷级数直接衍生出来的欧拉公式现在是不可或缺的。 奇妙的是，科学和工程领域几乎无处不在的大量其他函数也是如此。微积分的先驱们发现，他们熟悉的所有函数——正弦和余弦、对数和指数——都可以转换为“幂级数”的通用货币，这是一种增强版的几何级数，其中系数可以现在也变了。 当他们进行这些转换时，他们注意到了惊人的巧合。例如，这里是余弦、正弦和指数函数的幂级数（不要担心它们来自哪里；只要看看它们的外观）： cos x = 1 – x²/2！+ x⁴/4！– x⁶/6！+ … sin x = x – x³/3！+ x⁵/5！– x⁷/7！+ … eˣ = 1 + x + x²/2！+ x³/3！+ x⁴/4！+ … 除了所有令人欣喜且当之无愧的感叹号（实际上代表阶乘；例如，4! 表示 4 × 3 × 2 × 1），请注意 eˣ 的级数非常接近上述两个公式的混搭它。如果只有 cos x 和 sin x 中正负号的交替能够以某种方式与 eˣ 的所有正号相协调，那么一切都会匹配。 这种巧合，以及那种一厢情愿的想法，让莱昂哈德·欧拉发现了数学史上最奇妙、影响最深远的公式之一：
其中 i 是定义为
的虚数。 欧拉公式表达了一种惊人的联系。它断言正弦和余弦（周期和波的体现），是指数函数（增长和衰减的体现）的秘密亲属——但只有当我们考虑将数字 e 提高到一个虚数幂时（先不管那是什么意思）。由无穷级数直接产生的欧拉公式现在在电气工程、量子力学和所有与波和周期有关的技术学科中都是不可或缺的。 走到这一步，我们可以采取最后一步，这将我们带到通常被描述为所有数学中最美丽的方程，对于欧拉公式的特殊情况，其中 x = π：
它连接了一些数学中最著名的数字：0、1、π、i 和 e。每个都象征着数学的一个完整分支，因此可以将方程式视为光荣的汇合，证明数学的统一性。 0代表虚无、空虚，但这并不是数字的缺失——它是使我们整个书写数字系统成为可能的数字。然后是 1，单位，开始，计数和数字的基石，以及所有小学数学。接下来是 π，象征圆形和完美，但也有神秘的阴暗面，在其数字的神秘图案中暗示着无限，永无止境，难以捉摸。有 i，虚数，代数的象征，体现了创造性想象力的飞跃，使数字能够打破仅仅数量级的桎梏。最后是 e，微积分的吉祥物，运动和变化的象征。 当我还是个孩子的时候，我爸爸告诉我数学就像一座塔。一件事建立在下一件事之上。加法建立在数字之上。减法建立在加法之上。继续前进，从代数、几何、三角学和微积分一直上升到“高等数学”——这是一座高耸的大厦的恰当名称。 但是一旦我了解了无限级数，我就不再将数学视为一座塔。它也不是一棵树，就像另一个比喻所说的那样。它的不同部分不是分裂并分道扬镳的分支。不——数学是一张网。它的所有部分相互连接并相互支持。数学的任何部分都没有与其他部分分开。它是一个网络，有点像一个神经系统——或者，更好的说法是，一个大脑。 |
|
|
