【原】无穷级数=讨价还价？

　　无穷级数是数学中最被低估但又最强大的概念之一，它能够将数学各个领域中的概念联系起来。

　　就成就而言，我们常人当然难以与大数学家冯·诺伊曼比肩。要知道，他是现代计算机之父和博弈论的奠基者。但是，在一件小事情上，我们或许可以跟他打个平手。

　　故事是这样：有一天，有人给冯·诺伊曼出了一道题。两个骑自行车的人从一条20千米长的路的两端出发。每位骑车人以每小时10千米的速度向另一位骑车人行进。当他们开始时，一只叮在其中一辆自行车前轮上的苍蝇起飞，以每小时15千米的速度向另一辆自行车飞去。一旦相遇，它就立即转身，向第一辆自行车飞去，然后又飞回第二辆，如此反复。它不断地来回飞，直到最后两自行车相撞，将它压死在两车轮之间。现在问，在被压扁之前，这只苍蝇总共飞了多少距离?

　　这听起来似乎很难。苍蝇来回飞行的旅程由无限多的路程组成，每段路程都比前面的一段短。把它们加起来似乎是一项艰巨的任务。

　　但是，如果你考虑骑自行车的人，而不是苍蝇，这个问题就变得简单了。在一条20千米长的路上，两个骑车人以每小时10千米的速度相互靠近，1小时后会在中点相遇。而在这一小时内，无论苍蝇走什么路径，它的时速是不变的(每小时15千米)，所以它一定飞了15千米。

　　当冯·诺伊曼听到这个题时，他立即回答：“15千米”。提问者说：“哦，看来你已经识破窍门了。”“什么窍门?”冯·诺伊曼一脸困惑地问。“我只是对无穷级数求和。”

　　哈哈!原来，冯·诺伊曼大师还是用了那个最笨的办法：对无穷级数求和。只是他的心算速度比我们快罢了。

　　讨价还价问题

　　对无穷级数求和，也就是将遵循某种规律的无限多的数、变量或函数加起来，是每个人学微积分的“必经之路”。不过，一旦等我们熟悉了导数和积分之后，无穷级数就靠边站了。那么，为什么还要研究它们呢?

　　因为无穷级数有助于找到一个难题的近似解，也有助于说明数学严谨性的微妙之处。最令人信服的是，它们令人惊叹地揭示了数学不同领域之间的联系。

　　在解释之前，让我们看一下另一个涉及无穷级数求和的难题。看看它是如何逐步解决的，有助于理解冯·诺伊曼是如何解决苍蝇飞行问题的，并为更广泛地思考无穷级数问题奠定基础。

　　假设你想从一个街头小贩那里买一顶漂亮的帽子。他要价24元。“12元怎么样?”你说。他回答说：“你我差价是12元。这样吧，我们把差价平分，你加一半，我降一半。18元，怎么样?”

　　通常这就解决了问题。平分差价似乎是最合理的。但假如读过一本传授谈判艺术的书(譬如《无限讨价还价的艺术》)，你就会反击，提议继续平分差价，只不过现在是在你最初的报价12元和小贩最新的一次报价18元之间进行。“怎么样?”你说，“15元，就这么定了。”“哦，不，朋友，我们再平分一下差价，16.5元。”卖家说。这种情况一直持续下去，直到你们的价格趋于一致。这个终极价格是多少呢?

　　答案是一个无限数列的和。要想知道它是多少，请观察一下，连续的报价都遵循一个有规律可循的模式。

　　数列中出现的每个数字(24，-12，6，-3……)都是它前面的数的一半，但符号相反。因此，在讨价还价结束的时候，你和卖家将同意的价格P是

　　P=24-12+6-3+……

　　其中省略号意味着这个数列将永远持续下去。

　　与其在这样一个无限长的表达式上绞脑汁，我们可以玩一个狡猾的把戏，使问题变得简单。

　　具体来说，让我们把P加倍，这也会使右边的所有数字加倍。因此，

　　2P=48-24+12-6+……

　　这有什么帮助呢?请注意，2P中的无限项几乎与P本身相同，只是我们有一个新的首项(48)，而且其余的数正负号都与原来的数相反。因此，如果我们把P的数列加到2P的数列上，24和12以及其他一切都会两两抵消，除了48，只有它没被抵消。所以2P+P=48，意味着3P=48，因此P=16。

　　这就是在不停地讨价还价之后，你需要为这顶帽子付的钱。

　　讨价还价问题的推广

　　苍蝇的问题也遵循类似的模式。只要稍加努力，你就可以推断出，苍蝇的每一段来回路程都是前一段路程的五分之一，由此产生的是一类特殊的数列——等比数列，其中所有相邻的项都有着相同的比例。对于苍蝇问题，这个比例是1/5。对于讨价还价问题，是-1/2。

　　一般来说，任何等比数列S的形式为

　　S=a+ar+ar²+ar³+……

　　其中r是比例，a是首项。如果比例r在-1和1之间，就像前两个问题一样，我们可以用上面用过的技巧(只是不乘以2而是乘以r)，来得到数列之和是S=a/(1–r)。

　　这是一个普遍公式。具体到讨价还价问题，a是24元，r是-1/2。把这些数代进公式，可以得到S=24/(3/2)，等于16元，和之前得到的结果一样。

　　再回到苍蝇飞行问题。要计算苍蝇在来回飞行的第一段路程的距离，我们必须先弄清楚以每小时15千米飞行的苍蝇在哪里与以每小时10千米接近它的自行车相遇。因为两者速度比是15:10(或3:2)，当它们相遇时，苍蝇已经走了最初20千米距离的3/(3+2)，这告诉我们a=3/5×20=12千米。类似的推理显示，苍蝇每次转身，飞行的距离都会以r=1/5的比例缩小。冯·诺伊曼一下子就看到了这个规律，所以利用上面的a/(1-r)公式，他很快发现苍蝇走过的总距离为：

　　S=12/(1−1/5)=12/(4/5)=60/4=15千米。

　　函数展开成无穷级数

　　现在回到更大的问题上：像这样的数列是如何起到连接数学各领域的作用的?

　　要看到这一点，我们需要扩大我们对公式的理解，如

　　1+r+r²+r³+…=1/(1−r)，

　　与其把r看作是一个特定的数，如1/5或-1/2，不如把r看作一个变量。然后这个公式说出了一些惊人的秘密。它断言，一个给定的r的函数(这里是1/(1−r))可以展开成简单的r的不同幂次(比如r²和r³等)的组合，这叫函数的幂级数展开。

　　奇妙的是，对于科学和工程中随处可见的大量其他函数也是如此。微积分的先驱者们发现，他们所熟悉的所有函数，包括正弦和余弦、对数和指数函数，都可以转换为“幂级数”这种“通用货币”。

　　当他们进行这些转换时，注意到一个惊人的巧合。例如，下面是余弦、正弦和指数函数的幂级数展开。

　

　　其中的叹号代表阶乘。例如，4!=4×3×2×1。

　　注意e^x的级数非常接近于上面两个公式的混合。只要cosx和sinx中正负号的交替与e^x中的全正号相协调，那么一切就完全吻合了。

　　这种巧合，使数学家欧拉发现了数学史上最令人惊叹和影响深远的公式之一：

　　e^ix=cosx+isinx，

　　其中i是虚数，定义为i=√-1。

　　数学中最美的公式

　　欧拉公式揭示了一种深刻的联系。它断言正弦和余弦函数，是指数函数的“近亲”——当然这要求将指数扩展到虚数。欧拉公式是由无穷级数直接催生的，现在是电气工程、量子力学和所有与波动有关的技术学科中不可或缺的。

　　到了这一步，我们可以走出最后一步了。考虑欧拉公式的一种特殊情况，即x=π。

　　e^iπ+1=0

　　这个表达式被称为数学中最美的公式。它连接了数学中最著名的几个数，其中每一个都代表了数学的一个分支。

　　你看：0代表无，它是使我们整个数字书写系统成为可能的数(没有0，书写上我们就无法区分100或10，101或11)，同时它也划定了正负数的界线。然后是1，自然数的单位，计数和算术的基础。接下来是π，圆周率，来自几何，同时它还是一个无理数。无理数的引进，加深了我们对数的理解。还记得那个故事吗?据说最早断言√2是无理数(无限不循环小数)的数学家，竟然付出了生命的代价。还有i，虚数。数由实数扩展到虚数，打破了数单纯代表大小的顽固观念，是数学史上的一次巨大飞跃。最后是e，自然常数，它来自微积分。

　　这么一个简单的公式，却把数学中算术、代数、几何、三角和微积分等不同的领域联系了起来，真了不起!因此，它被看作是数学统一性的证明。而不要忘了，我们正是通过无穷级数求和达到这一“境界”的。

　　现在，你该明白无穷级数的魅力了吧。