一元一次不等式的应用

提要

列一元一次不等式解决实际问题，实际上应用了构建的思想方法，所谓构建的思想方法是建立起解决实际问题的数学模型。如方程（组）、不等式（组）等，然后用数学模型解决实际问题；利用一元一次不等式解应用题寻求的是不等关系，列出的是不等式；在设出未知数后，关键是找出所有的不等关系，需要认真分析显性，隐性的不等关系。

知识全解

一、列不等式解应用题的一般步骤

(1)弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数。

(2)找出能表示题目全部含义的一个（多个）小等关系（不等关系的给出一般以”少于”，“不超过”，“怎么办可获得最大利润”等词语作为标志）。

(3)根据这个不等关系列出所需要的代数式，从而列出不等式。

(4)解这个不等式，求出解集。

(5)写出符合实际意义的解。

二、找不等关系

(1)直接型的不等关系：不等关系可直接通过“大于”，“小于”，“不大于”，“不小于”，“至多”，“至少”等关键词得到。

(2)间接型的不等关系：不等关系较复杂，通过分析一些关键词，如“不够”，“超过”，“亏本”，“盈利”，“合算”，“住不满”等，找出不等关系。

(3)隐含型的不等关系：不等关系相当隐蔽，没有关键词，需要通过分析题意，再依据生活实际得出不等关系。例如，“售价一般不低于进价”，“个体不大于总体”等隐含在实际问题中的不等关系。

提示

在利用一元一次不等式解应用题要注意以下三点

(1)在分析题目数量关系时，抓住关键性词语，要明确相等，不等关系的作用。

(2)利用题中的相等关系列出代数式，为形成不等式做铺垫，利用不等关系构建一元一次不等式模型。

(3) 要注意其答案既要符合数学问题的要求，又要有实际意义。

方法点拨

类型1 列一元一次不等式解应用题

例1 甲，乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量，价格一致，每张办公桌800元，每张椅子80元。甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案。甲厂家：买一张桌子送一张椅子。乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠。现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张(x≥9)。

(1)分别用含x的式子表示在甲、乙两个厂家中购买桌椅所需的金额

(2)购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？

【分析】(1)根据甲、乙两厂家的优惠方式，可表示出购买桌椅所需的金额。

(2)令甲厂家的花费大于乙厂家的花费，解出不等式，求解即可确定答案

【解答】(1)购买甲厂家产品所需金额为3×800+80(x-9) =1680+80x；

购买乙厂家产品所需金额为（3×800+80x）×0.8=1920+64x

(2)由题意得1680+80x>1920+64x,

解得：x>15。

答：购买的椅子至少16张时，到乙厂家购买更划算。

【方法总结】本题考察了利用一元一次不等式的知识解决实际问题，注意将实际问题转化为数学模型，利用不等式的知识求解。

例2 有人问一位老师，他执教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6位同学在操场上踢足球。”试问这个班共有多少学生？

【分析】列不等式解应用题的关键是找数量关系，根据数量的不等关系列出不等式并解应用题。此题不能忽视了实际问题中需要注意的问题，即应考虑x/2，x/4，x/7都是正整数。

【解答】设这个班共有学生x人，x-(x/2+x/4+x/7)<6

所以3x/28<6，即x<56

又因为x，x/2，x/4，x/7都是正整数

所以x=28

答：这个班共有学生28人。

【方法总终】(1)列不等式求解应用题往往以“至少”，“最多”，“不超过”，“不是”，“不低于”等字眼体现出来

(2)注意题中未知数的隐含条件，在解题时要根据题意确定未知数的取值范围，这对解不等式的应用题很重要，如本题中x，x/2，x/4，x/7都是正整数

类型2 设计方案问题

例3 某商场为庆祝开业十周年，举办了优惠活动，商场决定从厂家购进甲，乙，丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过13 2000元。已知甲，乙，丙三种电冰箱的出厂价格分别为1200元/台，1600元/台，2000元/台。

(1)至少购进乙种电冰箱多少台？

(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？

【分析】(1)根据题意列出不等式，判断购进乙种电冰箱的数量

(2)充分考虑甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，并结合(1)的结论，找出可行性方案

【解答】(1)设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台，

购买丙种电冰箱(80-3x)台，根据题意，列出不等式：

1200×2x+1600x+ (80-3x)×200≤132 000

解这个不等式，得x≥14

答：至少购进乙种电冰箱14台

(2)根据题意，得2x≤80-3x

解这个不等式，得x≤16

由(1)知x≥14

∴14≤x≤16

又∵x为正整数，

∴x=14， 15，16

所以，有三种购买方案

方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台。

方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台。

方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台。

【方法总结】方案设计的不等式应用问题在生活中有广泛的应用，解决此类问题的关键是理解题意，寻找题目中的关键词语，如不少于。不超过等。

例4 某公交公司有A， B型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示，

红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题。

(1) 用含x的式子填写下表

(2)若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值。

(3)在(2)的条件下，若七年级师生其有195人，写出所以可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案

【分析】(1)根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，列出代数表达式即可

(2)根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决

(3)由(2)得出x的取位范围，一一列举计算，排除不合题意的方案即可

【解答】(1)∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金

∴B型客车载客量=30(5-x)；B型客车租金=280(5-x)；

故填30(5-x)；280(5-x)

(2)根据题意，400x+280 (5-x)≤1900，解得x≤25/6

∴x的最大值为4

(3)由(2)可知，x≤25/6，故x可能取值为0，1，2，3，4

①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5=1400元，但载客量为45×0+30×5=150<195，不合题意，舍去；

②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1520元，但载客量为45×1+30×4=165<195，不合题意，舍去；

③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3=1640元，但载客量为45×2+30×3=180<195，不合题意，舍去；

④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1760元，但载客量为45×3+30×2=195=195，符合题意；

⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1=1880元，但载客量为45×4+30×1=210符合题意；

故符合题意的方案有④、⑤两种，最省钱的方案是租A型3辆，B型2辆

【方法总结】此题主要考查了一次不等式的综合应用，由题意得出租用x辆A型客车与总租金关系是解决问题的关键