左老师， 能不能讲下：求函数的单调增区间是导数大于零，还是导数大于等于零？证明函数在某个区间上是增函数，是证明导数在这个区间上大于零，还是证明导数在这个区间上导数大于等于零？这里一直比较困惑！ 谢谢您. 周冀斌、lily， 首先，讨论的前提是函数连续且可导.当然，可导一定连续，实际上只需要函数可导就行. 关于连续与可导的关系见函数的连续与可导. 看栗子. 这道题如果出现在必修1，答案是什么呢？ 先看教材对单调性的定义. 根据这个定义，答案是这样的. 如果这道题放在选修2-2里面，答案是这样的. 看出区别来了吗？ 用定义法求单调区间时，端点带等号；用导数法求单调区间时，端点无等号. 换句话讲，如果端点值在定义域内，单调区间带不带等号，都是被教材所接受的. 下面理解三个道理. 举一个函数递增，但是导函数却不一定都大于零的栗子----三次函数y=x^3.它的图象如下. 必要性好理解，为说明不充分，我们举一个栗子. 图象是下面这样的. 那函数单增的充要条件到底是什么呢？ 什么叫零点离散呢？ 离散是与连续相对的. 比如刚才三次函数的导函数只有一个零点，当然属于离散. 再比如这个函数f(x)=x-cosx，图象如下.
我们看到，导函数的零点虽然很多，但都是离散的，无法形成一个连续的区间. 有了上面这些武器，我来解决你提到的三个问题. 用导数法求单调区间，用f'(x)>0 如果给出函数求单调区间，使用f'(x)>0. 因为教材里的例子就是这样示范的. 教材这样示范的理由其实就是刚才谈到的两点： 1.如果导函数的零点在定义域内，单调区间带不带这个零点，都是被接受的. 2.f'(x)>0是f(x)单增的充分不必要条件.如果你使用f'(x)>=0去计算单调区间，万一区间里包含连续的零点呢？ 所谓多一事不如少一事，用f'(x)>0最保险. 证明函数在某区间是增函数，用f'(x)>=0+说明 利用刚才讲到的充要条件. 如果你能证明f'(x)>0,函数一定是单增的； 如果你发现除了f'(x)>0之外，还有f'(x)=0的情况，那还要说明导函数的零点是离散的. 已知函数在某区间上单调递增求参数范围，用f'(x)>=0+验证 这种题型考的频率非常高，处理方法与第2种情况类似. 看栗子----2008年高考湖北理科数学卷第7题.
用f'(x)<=0求解，最后验证b取端点值时，f'(x)的零点是否是离散的.（做了这么多题，我还真没怎么碰到过零点形成区间的 答案选C. 请注意，这样的题型一定要带上等于0，不然会漏解. 写了大半天，希望对你们有帮助. 祝开心. |
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