【原】开区间上的凸函数一定可导或连续吗？

开区间上的凸(包括上凸和下凸)函数不一定可导，但它是一定连续的。之所以提出这样的问题，是因为开区间上的凸函数还有一个非常重要的性质，那就是在开区间上任一点都存在左、右导数。

设f为开区间I内的凸(凹)函数，证明：f在I内任一点x0都存在左、右导数.

证：设f为开区间I内的凸(上凸)函数，取充分小的h2>h1>0，使x0±h2∈I，【自然也有x0±h1∈I】

则对x0-h2<x0-h1<x0<x0+h1<x0+h2，有

(f(x0+h1)-f(x0))/h1>=(f(x0+h2)-f(x0))/h2，(f(x0)-f(x0-h1))/h1<=(f(x0)-f(x0-h2))/h2，【上 凸 的曲线， 过同一点(x0,f(x0))的割线，另一个交点越靠右，割线的斜率越小】

令F(h)=(f(x0+h)-f(x0))/h, G(h)=(f(x0)-f(x0-h))/h, 则当h>0时，F为减函数，G为增函数. 【因为当0<h1<h2时，F(h1)>=F(h2)，G(h1)<=G(h2)】

任取x’∈I且x’<x0，则对任何h>0，只要x0+h∈I，都有

(f(x0)-f(x’))/(x0-x')>=(f(x0+h)-f(x0))/h=F(h)，即F(h)在h>0上有上界,

根据单调有界定理，可知lim(h->0+)F(h)=lim(h->0+)(f(x0+h)-f(x0))/h存在，即f在x0有右导数；

任取x”∈I且x”>x0，则对任何h<0，只要x0+h∈I，都有

(f(x0)-f(x”))/(x0-x”)<=(f(x0)-f(x0-h))/h=G(h)，即G(h)在h>0上有下界,

所以lim(h->0+)G(h)=lim(h->0+)(f(x0)-f(x0-h))/h存在，即f在x0有左导数；【注意左 导数是有两个定义公式的，另一个是lim(h->0-)G(h)=lim(h->0-)(f(x0+h)-f(x0))/h，更加常用，但在这里用起来十分别扭】

若f(x)凹(下凸)，则-f(x)凸，-f(x)在任一点x0存在左、右导数；从而f(x)在任何一点x0也存在左、右导数. 得证！

下面证明：开区间I上的凸(凹)函数不一定可导.

只需找到一个反例，如：f(x)=|x|是R上的凸函数，

它在R上任一点x0都存在左、右导数.

但在x=0，有f’+(0)=1, f’-(0)=-1,

f’+(0)≠f’-(0), f(x) 在 x=0不可导，

∴开区间I上的凸(凹函数)不一定可导.

虽然左右导数存在，不一定可导，但是左右导数存在，则足以说明函数是连续的。即开区间上的凸(凹)函数不一定可导，但一定连续。