【数学帮】巧记口诀，攻克最难的13种典型例题，数学也能考满分！

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小学到高考 

暑期来袭！在“网课”的直接影响下，写作业的孩子慌了、辅导作业的家长也慌了......

贴心小帮特地奉上数学书中最难的13种典型例题。

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01

立方体展开图 

第一类：141型

中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图形。

第二类：231型

中间一行3个左侧面，共3种基本图形。

第三类：222型

中间两个面，只有1种基本图形。

第四类：33型

中间没有面，两行只能有一个正方形相连，只有1种基本图形。

02

和差问题

【口诀】

     和加上差，越加越大；

　　除以2，便是大的；

　　和减去差，越减越小；

　　除以2，便是小的。

【例题】

1. 已知两数和是10，差是2，求这两个数。

按口诀，则大数=（10+2）/2=6，小数=（10-2）/2=4。

03

鸡兔同笼问题  

【口诀】

      假设全是鸡，假设全是兔。

　　多了几只脚，少了几只足？

　　除以脚的差，便是鸡兔数。

【例题】

1. 鸡免同笼，有头36 ，有脚120，求鸡兔数。

求兔时，假设全是鸡，则免子数=（120-36X2）/（4-2）=24

求鸡时，假设全是兔，则鸡数 =（4X36-120）/（4-2）=12

04

浓度问题  

第一类：加水稀释

【口诀】

加水先求糖，糖完求糖水。

糖水减糖水，便是加糖量。

【例题】

1. 有20千克浓度为15%的糖水，加水多少千克后，浓度变为10%？

加水先求糖，原来含糖为：20X15%=3（千克）

糖完求糖水，含3千克糖在10%浓度下应有多少糖水，3÷10%=30（千克）

糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，30-20=10（千克）

第二类：加糖浓化

【口诀】

　　加糖先求水，水完求糖水。

　　糖水减糖水，求出便解题。

【例题】

1. 有20千克浓度为15%的糖水，加糖多少千克后，浓度变为20%？

加糖先求水，原来含水为：20X（1-15%）=17（千克）

水完求糖水，含17千克水在20%浓度下应有多少糖水

17÷（1-20%）=21.25（千克）

糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，21.25-20=1.25（千克）

05

路程问题  

第一类：相遇问题

【口诀】

　　相遇那一刻，路程全走过。

　　除以速度和，就把时间得。

【例题】

1. 甲乙两人从相距120千米的两地相向而行，甲的速度为40千米/小时，乙的速度为20千米/小时，多少时间相遇？

相遇那一刻，路程全走过。即甲乙走过的路程和恰好是两地的距离120千米。

除以速度和，就把时间得。即甲乙两人的总速度为两人的速度之和40+20=60（千米/小时），所以相遇的时间就为120÷60=2（小时）

第二类：追击问题

【口诀】

　　慢鸟要先飞，快的随后追。

　　先走的路程，除以速度差，

　　时间就求对。

【例题】

1. 姐弟二人从家里去镇上，姐姐步行速度为3千米/小时，先走2小时后，弟弟骑自行车出发速度6千米/小时，几时追上？

先走的路程，为3X2=6（千米）

速度的差，为6-3=3（千米/小时）

所以追上的时间为：6÷3=2（小时）

06

和比问题    

整体求部分。

【口诀】

　　家要众人合，分家有原则。

　　分母比数和，分子自己的。

　　和乘以比例，就是该得的。

【例题】

1. 甲乙丙三数和为27，甲;乙:丙=2:3:4,求甲乙丙三数。

分母比数和，即分母为：2+3+4=9

分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9，3/9，4/9

和乘以比例，所以：

甲数为27X2÷9=6

乙数为：27X3÷9=9

丙数为：27X4÷9=12

07

差比问题（差倍问题） 

【口诀】

　　我的比你多，倍数是因果。

　　分子实际差，分母倍数差。

　　商是一倍的，

　　乘以各自的倍数，

　　两数便可求得。

【例题】

1. 甲数比乙数大12，甲:乙=7：4，求两数。

先求一倍的量，12÷（7-4）=4，

所以甲数为：4X7=28，乙数为：4X4=16

08

工程问题  

【口诀】

　　工程总量设为1，

　　1除以时间就是工作效率。

　　单独做时工作效率是自己的，

　　一起做时工作效率是众人的效率和。

　　1减去已经做的便是没有做的，

　　没有做的除以工作效率就是结果。

【例题】

1. 一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成。甲乙同时做2天后，由乙单独做，几天完成？

[1-（1/6+1/4）X2]÷（1/6）=1（天）

09

植树问题  

【口诀】

　　植树多少颗，

　　要问路如何？

　　直的减去1，

　　圆的是结果。

【例题】

1. 在一条长为120米的马路上植树，间距为4米，植树多少颗？

路是直的，所以植树120÷4-1=29（颗）

2. 在一条长为120米的圆形花坛边植树，间距为4米，植树多少颗？

路是圆的，所以植树120÷4=30（颗）

10

盈亏问题  

【口诀】

　　全盈全亏，大的减去小的；

　　一盈一亏，盈亏加在一起。

　　除以分配的差，

　　结果就是分配的东西或者是人

【例题】

1. 小朋友分桃子，每人10个少9个；每人8个多7个。求有多少小朋友多少桃子？

一盈一亏，则公式为：（9+7）÷（10-8）=8（人）

相应桃子为8X10-9=71（个）

2. 士兵背子弹。每人45发则多680发；每人50发则多200发，多少士兵多少子弹？

全盈问题，大的减去小的，则公式为：（680-200）÷（50-45）=96（人）

则子弹为96X50+200=5000（发）

3. 学生发书。每人10本则差90本；每人8 本则差8本，多少学生多少书？

全亏问题，大的减去小的，则公式为：（90-8）÷（10-8）=41（人）

相应书为41X10-90=320（本）

11

牛吃草问题   

【口诀】

　　每牛每天的吃草量假设是份数1，

　　A头B天的吃草量算出是几？

　　M头N天的吃草量又是几？

　　大减去小，除以二者对应的天数的差值，

　　结果就是草的生长速率。

　　原有的草量依此反推。

　　A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。

　　将未知吃草量的牛分为两个部分：

　　一小部分先吃新草，个数就是草的比率；

　　有的草量除以剩余的牛数就将需要的天数

【例题】

1. 整个牧场上草长得一样密，一样快。27头牛6天可以把草吃完；23头牛9天也可以把草吃完。问21头多少天把草吃完？

每牛每天的吃草量假设是1

则27头牛6天的吃草量是27X6=162

23头牛9天的吃草量是23X9=207

大的减去小的 207-162=45

二者对应的天数的差值，是9-6=3（天）即为草的生长速度

所以草的生长速率是45÷3=15（牛/天）

原有的草量依此反推。

公式就是A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率

所以原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）

将未知吃草量的牛分为两个部分：

一小部分先吃新草，个数就是草的比率

这就是说将要求的21头牛分为两部分，一部分15头牛吃新生的草

剩下的21-15=6去吃原有的草

所以所求的天数为：原有的草量/分配剩下的牛=72÷6=12（天）

12

年龄问题   

【口诀】

　　岁差不会变，同时相加减。

　　岁数一改变，倍数也改变。

　　抓住这三点，一切都简单。

【例题】

1. 小军今年8岁，爸爸今年34岁，几年后，爸爸的年龄的小军的3倍？

岁差不会变，今年的岁数差点34-8=26，到几年后仍然不会变。

已知差及倍数，转化为差比问题。

26÷（3-1）=13，几年后

爸爸的年龄是13X3=39（岁）

小军的年龄是13X1=13（岁）

所以应该是5年后。

2. 姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，当姐弟俩岁数的和是40岁时，两人各应该是多少岁？

岁差不会变，今年的岁数差13-9=4几年后也不会改变。

几年后岁数和是40，岁数差是4，转化为和差问题。

几年后：

姐姐的岁数：（40+4）÷2=22

弟弟的岁数：（40-4）÷2=18

所以答案是9年后

13

余数问题

【口诀】

　　余数有（N-1）个，

　　最小的是1，最大的是（N-1）。

　　周期性变化时，

　　不要看商，

　　只要看余。

【例题】

1. 如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈后是几点钟？

分针旋转一圈是1小时，旋转24圈就是时针转1圈，也就是时针回到原位。1980÷24的余数是22，所以相当于分针向前旋转22个圈，分针向前旋转22个圈相当于时针向前走22个小时，时针向前走22小时，也相当于向后24-22=2个小时，即相当于时针向后拔了2小时。

即时针相当于是18-2=16（点）。