中考数学压轴题分析——与圆有关的位置关系

近些年圆与二次函数综合的频率不算高，更多的出现在纯几何的题目里面。

本文介绍的是两种与圆有关的位置关系问题。

题目选自：

2019·梧州、2019·雅安

【中考真题】

（2019·梧州）如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax²-37/6x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．

（3）如果直线y＝kx﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

【分析】

题目已经要求直线与圆相切，那么利用切线的性质即可：

主要是有几个方面：

①角度：直线与过切点的半径垂直，得直角；

②长度：圆心到直线的距离为半径。

本题中发现直线的b是确定的，那么必定经过y轴上的交点（0，-1），而圆的圆心也知道了，所以可以画个图，连接切点与圆心，得到直角三角形。

遇到直角三角形的时候，通常可以考虑勾股、相似、三角等。

本题的解法有多样，可以设直线与x轴的交点坐标，利用三角形相似求出k的值。

还可以设点H的坐标，构造三垂直的辅助线。利用相似可以建立一个等量关系，再加△AGH的勾股定理。

当然，如果部分同学了解高中数学点到直线的距离公式的话，就可以直接代入求解也可以。

如果还知道圆的方程，可以直接联立圆的方程与直线的解析式，那么结论也可以求的出来。

分别可以从代数和几何的角度去出发，本质上还是解方程的问题。

【答案】解：抛物线的表达式为：y=5/6x²-37/6x+11；

①当切点在x轴下方时，

设直线y＝k1x﹣1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，﹣1），连接GA，

AH＝AB=√5，GA=√10，

∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠HKA，∴△KOG∽△KHA，

∴KO/KH=OG/HA，即：KO/√((KO+3)²-5)=1/√5，

解得：KO＝2或-1/2（舍去-1/2），

故点K（﹣2，0），

把点K、G坐标代入y＝k1x﹣1并解得：

直线的表达式为：y=-1/2x﹣1；

②当切点在x轴上方时，

直线的表达式为：y＝2x﹣1；

故满足条件的直线解析式为：y=-1/2x﹣1或y＝2x﹣1．

【举一反三】