中考数学压轴题分析——判断点在几何图形上

上篇是判断点在函数图象上，接着就是点在几何图形上。

本文题目选自：

2019·台州、2019·金华

2019·宜昌、2019·雅安

【中考真题】

（2019·台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP＝FD．

（1）求AF/AP的值；

（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM＝EB，连接MF，求证：MF＝PF；

（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ＝AP，连接BQ，BN．将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上．请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由．

【分析】

前面两问与题（3）关系不大，因此忽略。

不过题（1）的结论还是有用的。

当题目中指出AQ=AP时，点Q的位置就确定了。

也就是说EQ、BQ的长度，△ABQ的形状都确定了。

旋转△AQB使得点Q落在AD上时，旋转后的图形也可以画出来。

看图观察发现八成是落在BN上。但是还是不敢苟同。

那怎么判断呢？

可以有两个思路：

①建立平面直角坐标系，求出点Q′的坐标与直线BN的解析式，代入检验。

②几何的方法，过点Q′作BC的垂线，分别交BC、AD于点MN，求出Q′M、Q′N的长度，还有NC=MD的长度，再利判断Q′N的长度是否恰好使得点Q′在BN上。

【答案】

解：（3）若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，

∵EN⊥AB，AE＝BE

∴AQ＝BQ＝AP=√5-1

由旋转的性质可得AQ＝AQ'=√5-1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB=√5-1，

∵点B（0，﹣2），点N（2，﹣1）

∴直线BN解析式为：y=1/2x﹣2

设点B'（x，1/2x﹣2）

∴AB'=√(x²+(1/2 x-2)²)=2

∴x=8/5

∴点B'（8/5，-6/5）

∵点Q'（√5-1，0）

∴B'Q'=√((√5-1-8/5)²+36/25)≠√5-1

∴点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上．

【举一反三】