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【题记】 怀疑一切。——马克思 学问学问，既学又问。——无名氏 数学是科学之王。——高斯 数学是符号加逻辑。——罗素 数支配着宇宙。——毕达哥拉斯 教师必须学会深入研究教材及相关逻辑联系，下面是我对“质量”概念的厘析文章，发表于2015年《小学数学教育》头条，现分享一下。 苏教版小学数学从三年级开始学习“质量单位”。对于这一部分内容，许多老师在研究教材时发现：教材中，一会儿说千克（克、吨）是质量单位，一会儿又说××物体多重（似乎又是在说重量），教学中到底是说质量还是重量，这两个概念存在怎样的区别与联系，本文拟就质量与重量及其相关概念作一番辨析，这将有助于老师们深入理解教材意图，科学设计教学进程，进而更有效组织课堂教学。 一、量、连续量和离散量 我们先从“量”开始说起。所谓“量”是指“现象、物体或物质可定性区别和定量确定的一种属性”。也就是说，事物的大小、多少、长短、轻重、高低、速度的快慢等客观事物的属性都叫做量。其中，有大小也有方向的物理量叫做向量（也叫做矢量），如速度、重力（重量）等；有大小没有方向的物理量叫做标量（也叫做数量），如长度、质量（重量）、体积、时间等。 小学阶段学生接触到的现实世界的数量（圆周率除外）可以分为两类：连续量和离散量（也叫不连续量）。 不连续量有如下特点：它从一种程度到另一种程度是“跳跃地”变化的，即从一种程度开始只要经过有限多种程度的逐次更替就能变化到另一种程度。如我们数一个班的人数，从1开始，逐次经过2、3、4、5……最后变化到45，说明这个班的学生是45人。又如书本数、课桌椅数也是离散量，它们与自然数一一对应。离散量一般是准确数，如刚才说的一个班级有45人。但在一定的情境下，离散量也可以用整十、整百等近似数描述，比如某校有2000多名学生，2000人就是近似数。这样描述不是因为这个学生数不是一个准确值，而是这里只需要一个近似值。 连续量则有如下特点：它从一种程度到另一种程度是“连续地”变化的，即从一种程度开始，要经过无限多种程度的连续更替才能变化到另一种程度。例如，身高、体重、温度、时间、距离、速度、长度等是连续量，通过测量或计算得出，它与正实数对应。 在这里，需要指出的是，现实世界里的所有连续量的测量数据都是近似数。比如小明身高145厘米，体重36千克，就是近似数，与身高约145厘米，体重约36千克，甚至表示为身高恰好145厘米，体重恰好36千克，几种表述其实没有本质的区别，虽然小明的身高体重有一个准确值，但是不可能无误差地测出——准确是相对的，误差是绝对的。这种现象物理学上被称为“测不准原理”，它是量子力学上的一种基本原理，亦称“不确定性原理”，是由德国物理学家海森堡（Werner Heisenberg）于1927年提出。后经多位科学家研究，这个不确定性来自两个因素，首先测量某东西的行为将会不可避免地扰乱那个事物，从而改变它的状态；其次，因为量子世界不是具体的，但基于概率，精确确定一个粒子状态存在更深刻更根本的限制。 基于上面的认识，我们应该帮助儿童正确地建构“大约”、“近似数（量）”的意义。笔者认为，凡在小学阶段涉及“厘米、米、毫米、千米、克、千克、吨、时、分、秒、年、月、日”等计量单位的认识时，我们都要通过适宜的教学情境或合理的测量过程中让学生明白“所有测量的数据都是近似数、所有的计量过程都是大约的”这个道理。这个道理非常重要，因为当学生知道“近似数”是测量数据的本质属性，即这些“连续量”无论在计量时是否用“大约”二字，都是“大约的”，这既是培养学生估算能力的基础，也是培养学生数感的重要途径——当然，更大的范围上，从课程标准制定、教材建设、教师培训等方面，我们同样应该给予足够的重视。 二、计量、计量单位与量数 从上面可以看出，“量”是数学中的一个基本概念。如同“数（shù）源于数（shŭ）”一样，量（liàng）的主要特征就在于它可以量（liáng）。也就是取一个同类量做标准时，可以比较出大小来。这种把要测定的量和一个作为标准的同类量进行比较的过程叫做“计量”。例如，用千克作为计量单位去测定某一物品“有多重”的过程，就是计量。计量可分为直接计量和间接计量，如上所述的计量是直接计量，如果在计量操场的面积，一般是计量长和宽，再通过计算算出面积，这样的计量是间接计量。 计量时用来作为标准的同类量叫做“计量单位”。计量单位的演变是随着人类社会的发展而发展的。在我国古代，计量长短称为度，计量容积（容量）称为量（liáng），计量轻重称为衡。计量长度、容积、重量，统称为度量衡。我国还有许多市制计量单位，比如计量重量的有担（100斤）、钧（30斤）、斤、两、钱等，但基于国际交流的需要，就必须有国际上统一的计量单位。于是，1875年十七个国家的代表在法国巴黎开会议定了“国际公制”这一国际通用的计量制度。长度的主单位是米，质量的主单位是千克（公斤），容量的主单位是升。简称公制，也称米制。之后的“国际单位制SI”是在“米制”基础上发展起来的单位制，是由国际计量大会于1960年通过的。1984年2月27日国务院发布了《国务院关于在我国统一实行法定计量单位的命令》（简称《命令》，下同），决定在采用先进的国际单位制的基础上，进一步统一我国的计量单位。我国的法定计量单位总体包括六个方面，即（1）国际单位制的基本单位（有七种，包括长度单位“米[m]”、质量单位“千克”、时间单位“秒[s]”、电流单位“安（培）[A]”、热力学温度单位“开（尔文）[K]”、物质的量的单位“摩（尔）[mol]”和发光强度的单位“坎（德拉）[cd]”）；（2）国际单位制的辅助单位（平面角、立体角）；（3）国际单位制中具有专门名称的导出单位（主要是一些理化生等科学领域的计量单位）；（4）国家选定的非国际单位制单位（其中，跟我们小学数学教学相关的有时间单位“分”、“［小］时”、“天［日］”、质量单位“吨”、体积单位“升”等）；（5）由以上单位构成的组合形式的单位；（6）由词头和以上单位所构成的十进倍数和分数单位（比如，比米大的单位有十米、百米、千米（公里）等，这些单位叫做米的十进倍数单位；而比米小的分米、厘米、毫米等，这些单位叫做米的十进分数单位） 在上述文件末尾的“注”中特别提到几点，这里列举与小学数学相关的，如周、月、年（年的符号为a），为一般常用时间单位；升的符号中，小写字母l为备用符号；人民生活和贸易中，质量习惯称为重量；公里为千米的俗称，符号为km。 从上面的分析中可以看出：《小学数学教师教学用书》中介绍常用的质量单位：千克、克和吨通常这样说：“克、千克和吨，都是我们法定的质量单位。在贸易和日常生活中，人们习惯把质量称为重量。”这三个单位也是有区别的，其中“千克”是国家文件《命令》中的第一类，即（1）国际单位制的基本单位；“吨”是第四类，即（4）国家选定的非国际单位制单位（也是“千克”的十进倍数单位）；而“克”在《命令》中没有出现，因为它是“千克”的千分之一，应该属于“千克”的“十进分数单位”。 最后说说“量数”。所谓“量数”，是指用一个计量单位去计量某一个量，结果得到这个量含有计量单位的若干倍这个数值就叫做这个量的量数。比如一个西瓜用“千克”作单位去计量，所得的量数是5；如果用“克”作单位去计量，所得的量数就是350。用这个数连同计量单位就可以表示被量（liáng）的量（liàng）的大小；然后，还可以用数的运算以及计量单位的变换，进行量的运算。 三、1千克、质量与重量 质量和重量有什么不同？简单些说，一个物体的质量表示这个物体含有多少物质，质量是恒定不变的。一个物体的重量是这个物体受到的地球吸引力，重量因物体所在位置的纬度和高度不同而略有变化。质量是标量。重量是矢量。质量和重量的单位在国际单位制里，质量的单位是千克，重量的单位是牛顿。实用时，重量的单位常用千克力或克力。我国人民在日常生活中不区分物体的质量与重量，经常以“物体有多重”来代替“物质有多少”。三年级学生还不具备严格区别质量与重量的条件，因此，本单元教材既使用“质量”这个词语，又把物体“有多重”视为物体的质量。 要进一步理解两个概念的异同，我们还得从“1千克的质量”说起。原计划制作的是质量的主单位——“克”的标准器，但因为当时工艺和测量技术所限，故制作了质量是“克”的1000倍的标准器，即千克标准原器——这也是国际单位制中质量单位是千克而不是克的原因。最初的千克质量单位是由18世纪末法国采用的长度单位米推导出来的，1立方分米纯水在最大密度(温度约为4摄氏度)时的质量，就定为1千克。1799年法国在制作铂质米原器的同时，也制成了铂质千克基准，保存在巴黎档案局里，被正式定为“档案局千克”（Kilogramme des Archives）。再后来，发现这个铂质千克基准并不准确地等于1立方分米最大密度纯水的质量，而是等于1.000028立方分米。于是，在1875年“米制公约会议”之后，用含铂90%、铱10%的合金制成千克圆柱体原器，规定这个砝码在纬度450的海平面的重量为1千克力。这个千克后面加个“力”字，与质量的千克加以区别。当时质量千克原器一共做了三个，经与巴黎档案局保存的铂质“档案局千克”原器比对，选定其中之一作为国际千克原器。这个国际千克原器被国际计量局的专家们非常仔细地存放在法国巴黎郊外戒备森严的金库内，用三层玻璃罩好，最外一层玻璃罩里抽成半真空，以防空气和杂质进入。随后又复制了四十个铂铱合金圆柱体，经过与国际千克原器比对后，分发给各会员国作为国家基准。跟米原器一样，千克原器也要进行周期性的检定，以确保质量基准的稳定可靠。但是由于消耗与磨损，它的质量正慢慢地减少，基本单位的准确性受到影响，误差越来越大。2008年04月，位于不伦瑞克的德国国家计量研究院的研究人员表示：他们将采用直径10厘米(4英寸)的纯硅体去界定比现在的千克质量定义更为标准的度量方法。新的纯硅体是完美的球体，纯度极高，99.99%的材料是一种称为硅28的硅同位素。它是集俄罗斯、澳大利亚和德国等国科学精英之力，耗资200万欧元(约合320万美元)，用5年时间才打造完成的，其质量无限接近于一千克。而且，德国不伦瑞克的科学家们不断地对纯硅体实施数千次实验，以测算制成它的硅原子数量。 由此可见，牛顿力学中的质量是一个恒量，物体无论是否受到重力的作用，它总是具有质量的。例如，宇宙飞船远离地球，摆脱了地球的引力，就无所谓重量了，但物体的质量仍然存在。当关掉发动机之后。宇宙飞船，仍能凭借惯性继续飞行，这说明物体的质量仍在起作用。而重量则随物体所处的纬度和高度的不同而变化。若将这个物体放在赤道，它的重量为0．9973千克力；放在北极，它的重量则是1．0026千克力。 质量用天平测定，重量则用弹簧秤测之。其原因是：天平是等臂杠杆。设臂长为L，被测物体的重量是W1，砝码的重量是W2。当天平平衡时，根据杠杆平衡原理得到W1L＝W2L，因为两边同乘L，所以W1＝W2，即当天平平衡时，物体与砝码的重量是相等的。由于物体和砝码在地球上的同一地点，设此地的重力加速度为g，则W1＝m1g，W2＝m2g。因此，m1g＝m2g ，m1＝m2，从上式知，一个物体无论在地球上任何地方，用天平来称量，物体的质量总是等于跟它平衡的砝码的质量。由砝码的质量数，就能知道物体的质量数。在地球表面，用天平测出物体质量数，就可近似认为与重量数相等。但要知重量的精确数，就必须知道该地的重力加速度，而后根据天平所测知的物体质量m，算出物体的重量（P＝mg）。用弹簧秤来称量物体，由于弹簧的伸长与作用力成正比，所以从弹簧秤的刻度上就可读出物体的重量数值。我国历来所用的杆秤实际上是不等臂的天平，因此用它测物体时，是质量而不是重量。 在苏教版小学数学教材中，让学生认识生活中的秤，有天平、台秤、磅秤、杆秤、地秤、弹簧秤、电子秤等等，要注意区分有的称量的是质量，有的称量的是重量，但因为两者在同一地点只有细微的差别，所以日常生活中就把它们不再作严格的区分了。 总之，在诸如“质量单位”等计量单位教学中，学生对计量单位的理解并不要求十分严格，但作为老师我们必须充分认识与深入理解这些计量单位的来龙去脉及联系区别，这样才能在教学中做到居高临下、得心应手、深入浅出。 |
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