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【题记】 一个没有受过激励的人，发挥其能力的20%—30%；而当他受到激励时，其能力可以发挥80%—90%。——威廉·詹姆斯 人之情，恶异于己者，此师徒相与怨尤也；人之情不能亲其所怨，不能誉其所恶：学业之败也，道术之废也，从此生矣。善教者则不然，视徒如己，反己以教，则得教之情也。所加于人，必可行于己，若此，则师徒同体。——《吕氏春秋·孟夏纪·诬徒》 一、新课程改革背景下的数学“开放教学”呼唤“有效”新课程改革是落实素质教育的关键环节，是素质教育的进一步深化和飞跃。数学新课程标准旨在建立一种促进学生发展、反映未来社会需要、体现素质教育精神的数学课程体系。要使该教材真正实施到位，必须建立一种符合学生自主发展、融入社会生活、面向学生生活实践、培养学生主动探索精神的教学方法，而这样的教学方法的实施应体现数学开放教学。 所谓数学开放教学，我的理解是：通过设计开放型数学问题，引导全体学生主动参与，激发学生独立思考和创新意识，培养学生创新精神、创新思维习惯，发展他们分析解决问题以及团结协作能力，最终获得“问题解决”的新型数学教育形式。 这里所说的“创新意识”是指发现问题、积极探求心理取向。“创新精神”是指敏锐地把握机会，敢于付之于探索行为的精神状态。“初步创新能力”则是指学生一种积极改变自己、改变环境的应变能力和创造能力。 分析当前的小学数学课堂教学现状，一方面是学生被动性学习、适应性学习、机械性学习、封闭性学习、强制性学习的现象还在相当一部分教师的课堂教学中普遍存在；另一方面是部分教师在“开放”的理念“指导”下，不顾于班级授课制的现实，一味追求不符合实际的所谓“开放”——很少在教学开放的“有效性”上进行研究，造成课堂教学过程中顾了个别学生而影响了多数学生；顾了形式上的表面上的而放弃了实际的教学效果。因此，实行理性的开放教学成为当前数学新课程中实施“开放教学”的一种回归，一种呼唤。 二、小学数学实施“有效开放教学”的实践（一）确立开放教育观念教育家莫利森认为：开放教育是一种态度、一种自由、一种以学生为中心式的教育。这种教育的思想核心是崇尚自然、顺应自然，将教育融汇于受教育者的自然生活之中，按需求教育者的生存方式、生存需要、生活习惯、生活节奏、生活状况、生活喜好，来设计提供多种教育的方式、方法、途径与媒体，诱导需求教育者主动地发自内心地积极地选择最适合自身自然生活的方式来寻求（而非接受）教育。由此可知，开放教育不仅仅是一种方式方法，而是一种思想、一种观念、一种态度。教育的自然化、教育的生活化、教育的可选择化是开放教育最大的也是最诱人的特质，是整个开放教育的核心思想。开放教育可以看作是对人本的认同，人性的返归，人权的解放，人格的尊重。这将更加有利于激发学习者的学习兴趣，最大限度地发掘其学习潜能，发展其个性——这也正是深入推进素质教育的宗旨所在！ （二）设计“有效开放”的课堂教学数学开放教学必须牢固树立“以学生为中心”的观念，坚持指导、帮助、促进、满足学生“低负、高效、个性化”学习的原则，努力围绕培养学生探究意识、创新意识和初步创新能力来设计课堂教学。 1、遵循“由一般到特殊”的设计思路从认知发展的过程看，人们总是先认识具体的或观察所及的事物，再通过经验的归纳获得知识，然后才学习“从概念演绎得出的”新知识。因此，数学开放教学的设计了也要遵从这一规律。 2、运用多种方法进行开放题的设计皮亚杰认为：学生最基本的学习方法是建构。学习不是简单的感知，被动地接受，而须学生自身积极能动地构造，通过连续不断的建构，使主体的智力得到发展，创新的火花得以迸发。现今，班级授课制的弊端是显而易见的，但班级授课也可以通过“差异资源”，产生智力互补，激发思维碰撞，以达到相互促进之功效。由此可见，开放题设计是能否取得数学开放教学的关键。 （1）减少条件，使问题开放。如一个长方形，剪掉一个角，剩下的部分还有几个角？这里的“剪掉一个角”就是一个开放条件，剪法不同，结果就大不相同了。 （2）一题多解，使解题方法开放。比如，如何确定一个圆（未标出圆心）的圆心呢？又如，请写出两个数，使它们的和大于10而小于20，你能写多少个呢？这道题，一般学生可能会任意写，而深入思考后的学生，则可以找出其中的规律，从而把所以的答案都写出来。 （3）串起问题，使解题过程开放。这里的“串起问题”是指学生在学习活动中遇到的问题在教师的导引下不断扩展和深入。如在学习《比和比例》之前和之后，分别让学生讨论如何量出一个旗杆的高度？解题过程会大不相同，学习“比和比例”的知识后，学习可以用“量影子”办法来计算。可问题还没有到此为止，如果没有“影子”怎么办呢？于是学生又进行探索，想出了用“镜子放在地上照”的办法。 （4）模糊语言，使结论开放。如3、6、8、9、18中哪一个数是特殊数？在这里，“特殊数”是一个模糊的数学术语，何为“特殊数”，没有说明标准。若以能否被3整除作标准，8是“特殊数”；若以一位数作标准，18是“特殊数”；若在质数作标准，3是“特殊数”；若以平方数作标准，9是“特殊数”……等等。 数学开放教学，课内所解“常规题”数量偏少，且课上要将大量时间留给学生，这在一定程度上好像挤占了学生解基本题形成“解题规范”的时间（似乎“效率较低”？），加上教师课堂上难以把握教与学的进程，课终还要去“收一收”（即去归纳、总结学生发现的结果），因而在当前，许多教师还不太适应用这种新型教学形式。但从长远看，其效果却是显而易见的：在开放性问题的解答中，学生逐步形成独立思考、主动探索思维习惯，观察、质疑、联想、发散、求新、创造等诸多能力也得到了综合提高。 （三）拓展学习时空，巩固、增强课堂学习有效性越来越多的教学实践证明：如果把学生数学学习禁锢在单一的课堂教学内，局限在封闭的课程体系内，而剥夺学生自由支配学习时间和空间的权利，那么数学教育只能逼着学生在狭窄的羊肠小道上缓缓前行，更无从谈培养学生学习兴趣和创新意识了。 1、让学生带着问题走向实践，拓展活动空间学生学习知识和运用知识构成了学习活动的两大部分。由于目前许多学校偏重于书本知识学习，常进行机械操作的演算活动，而让学生带着问题走向实践，参加“用数学”活动，则可以对“一线天”式的教学有突破。“让学生带着能力走向实践”的活动，使学生从原来寻找逻辑起点着眼于定义，拓展到在大千世界中寻找数学问题的原形，用数学观点解释现实世界中的数学问题和非数学问题的问题，从而使学习活动由原来被动接受成为积极的建构活动。学生在实践中经受锻炼，用“数学眼光”寻找蕴含于现实生活中的数学问题，并通过数学计算去解释、揭示非封闭性数学问题本质，把理论学习与实际的“问题解决”进行对比分析，从而更进一步领悟了数学学习的价值。 如在学生学习完有关图形的面积计算后，我组织了学生的户外测量与面积计算。同学们兴致勃勃地测量了操场的长与宽，算出了操场的面积。铅球投掷场地是一个近似的梯形，学生也能算出面积。我又指导学生估面积，操场上大大小小画了许多图形，有长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等，学生单凭自己的“眼力”，看谁估算得最准确，然后再实际量一量，算一算，学生就在这样的“量算”与“估算”中，思维能力（特别是直觉思维能力）得到了较大的提高。这时，有一名学生突然问：“老师，我家有一幅地图，我想算一算我们园区的面积，可是它是一个不规则的图形，我们如果来算出它的面积的呢？”这个问题，把大家难住了，于是我叫大家把地图用纸板放大，让每个同学回去思考这个问题。第二天，学生们在课堂上纷纷发表意见，有的说，可以用割补、拼凑的方法来进行，把它拼成一个近似的长方形或其它图形；有同学赶快站出来反驳说，这样算出来很不准确。后来，又有同学说出一个想法。他说，先在地图的中间刻一个长和宽都是10厘米的正方形，用天平称出它的重量，再把这块纸板放回原处，称出整个园区这块纸板地图的重量，最后算出整块纸板的重量是10厘米正方形重量的几倍，就能算出整个地图的面积了。真是绝妙！从算面积，到估面积，再到“称面积”，学生在这样的自主实践和交流交往中，迸发出思维“火花”。 通过开展“用数学”的活动，空间活动内容增加了，学生空间活动交流面广阔了，学习活动由知识接受层面一下子进入知识应用层面，调查、操作、分析、探索、创新等诸方面能力得以综合推进。 2、组织开展数学兴趣活动，拓展“再创造”空间原苏联教育家苏霍姆林斯基在《给教师的建议100条》一书中说过：“在人的心灵深处，都有一个根深蒂固的需要，这就是感到自己是一个发现者、研究者、探索者。” 在数学兴趣活动中，可以把数学认知“图式”和现实世界“图式”充分结合起来。五彩缤纷的大千世界促使学生喷发“再创造”学习的激情，“再创造”活动也变得绚丽多彩，创造空间也就不被局限在数学知识体系的框架里了。 在组织开展数学兴趣活动时，我注意密切联系学生的生活实际，充分发挥数学模型的桥梁作用，引导学生“构建”自己与众不同的知识结构。在引导学生探究、建模的过程中，我特别重视培养学生“个体首创性”，即针对一个特定的个体来说，虽然一些知识、模型别人已经提出过，但对他本人来说，却是新颖的、第一次发现的。 例如，水笼头滴滴水是一种常见的现象，但是不同个体的学习的原有知识经验不平，看到的数学问题也不同，生成－建构的新数学经验当然也不一样了。下面是我班一男一女两个同学的发现与研究： A、女孩子版：一年滴了多少滴水 一个周末，我洗完毛巾正拿出去晒时，发现毛巾不停地滴着水。我想：反正也没事干，不如来算算1分钟滴多少水吧。我拿来秒表开始记时。我一连看时间，一连数了起来。……40、42、43！啊，1分钟滴了43滴水。 于是，我想：1分钟滴了43滴水，那么一个小时呢？1小时＝60分，60×43＝2580（滴）。 一天呢？就是2580×24＝61920（滴）。 一个月、一年呢？以下的计算，因为数字太大，我只能用计算器来进行了。每个月以30天计，一个月滴了61920×30＝1857600（滴），一年就滴了1857600×12＝22291200（滴）呢。 一年滴了这么多滴！长年累月，该有多少滴啊！ 从此，我对“滴水穿石”有了更深刻的理解! B、男孩子版：一滴水的滴速是多少 今天，我又想出一个新的研究主题，就是想测量并计算出一滴水的滴速是多少。但是直到我测量水池的深度的时候，我才发现水滴并不很好“制成”──要么成为水流，要么什么都不滴。我试了好多次，总算成功了。 我又发现，用普通的表根本测不精确。于是，这次我采用了爸爸手机上的秒表来进行。 经过测量，水滴从水龙头上滴到水池底部共需0.75秒，水池的深度是30厘米。根据这些条件，可以计算了一滴水的滴速是30÷0.75＝40（厘米/秒） 怎么样，你也来试试，看看结果是不是差不多。 3、留有足够思考时间，拓展有效学习时空。有些教师误以为，大容量、高密度的讲授可以使学生获得更多的知识，其实不然。把足够的时间留给学生思考，可以使那些反应中慢，但思考却比较深刻的学生可以达到最佳的学习效果。因此，我们反对满堂灌，更反对机械重复学习。让我们把足够的时间留给学生进行有效学习，让他们的创造火花在足够的有效学习时空中燃烧成炬！ （四）借助众多信息媒体数学开放教学，光凭班级授课制及普通教学手段是远远不够的，必须借助众多信息媒体、手段来增加学生数学学习的信息量，从而为他们“自主创新学习”提供足够的养分。为此，我们必须做到： 在课堂教学中，加大多媒体辅助教学的力度。可通过多媒体课件辅助教学，来提高数学教学的信息量，为学生提供更广阔的思维背景。通过交互操作，让学生在“动”中学，又学又习，学思结合，相得益彰。 在数学活动课中，解放学生的脑、嘴、眼、手、耳。让学生多动手、动眼、动嘴、动耳、动脑，充分发挥其主动性，发展其数学志趣和特长。活动课的形式有认知型（如专题讲座、数学故事会等）、活动型（如实践操作、模型制作、调查统计等）、综合型（可向学生推荐优秀数学读物，如《算得快》、《算得巧》、《趣味数学一百题》、《数学大观园》等）。 努力创设浓郁的数学文化氛围必不可少。学校、班级的数学文化对学生数学个性特长起着渗透作用。教师可带领学生办好数学画廊、报廊，出好数学报，办好班级“数学角”（如“一日一题”），吸引更多的学生参与其中，使之不知不觉地迷上数学。 数学还要面向社会和家庭，走向大自然。家庭中的开放性数学教学非常重要。可设计“抄电表算电费”、“算一算利息”、“电脑与数学”、“家庭中的数学知识”、“父子同做”等形式或题型，让学生学以致用，活学活用。教师还要充分学生的数学好奇心，让学生去探索大自然和社会中的数学。如自行车、人字梁为什么是三角形？（因为它具有稳定性）为什么蜜蜂的巢不是圆形、正方形，而是六边形？（因为六边形最稳固、最吻合、最节省材料！） 网络、手机更是学生开放式学习的一个新的天地，学生、家长大多也能使用。因此，电子备课、电子作业、电子邮件、在线学习实现均已成为可能。 三、小学数学实施“有效开放教学”的思考在数学教学中实施“有效开放教学”是当前一个重要的数学教学研究课题，通过实践，我们有如下思考。 1、在算法多样化与基本算法（学法）两种教学趋向下有效处理提倡算法多样化，提倡个性化教学，这对培养学生的创新意识与创新思维是十分必要的。正是教学内容的呈现与学生学习过程的体验不急于追求“标准化”、“形式化”，让学生的学习经历一个从“非正规化”到“正规化”的过程，经历一个从“个性化”到“大众化”的过程，使学生对知识的真正理解(自主建构)和个性化发展成为可能。但是，从学生的特点去研究，我们也不难发现，在教学活动中，学生毕竟是一个不成熟的学习主体。如果我们不加指导地放手让学生去探究，学生也可能无所体验，无所收获；只让学生畅抒己见而没有教师精当的讲授和适时的学法指导，也很难将学生的思维引向深入。 因此，十分重要的是我们教师要学会在“算法多样化”和“基本算法（学法）”两种趋向下学会巧妙而有效的处理，以期取得最优化的教学效果。 2、在自主探索与合作学习两种学习方式中寻找平衡毫无疑问，“自主探索”与“合作学习”都是《数学课程标准》所大力倡导的学习方式。自主探索和合作学习都是学习的不同形式，没有优劣之分，都离不开教师的组织和引导。当然，在这些学习过程中应努力让学生表现自我，体验成功。“自主探索”是让学生有自己独特的内心世界和生动活泼的思维活动。教学中应该通过创设一种具有开放性的问题情境，让学生有充分思考、想象和表达的时间和空间；而“合作学习”作为现代教学中的一种重要的学习方式，也是提高课堂主体参与效率、拓宽学生情感交流渠道的重要方法。两者在教学中能做到相互渗透、相辅相成，——定会使学生在学习活动中达到既发挥个体作用又发挥群体效应的事半功倍的效果。 3、在知识应用与思想方法两种教学策略中寻找协调数学应用是数学教学首要的和基本的目标，也是当前课改的重点内容之一。在关注应用意识的数学教学中，我们既要主动联系生活实际，在实际背景中应用数学，又要主动运用数学的思想方法解决问题，还要十分重视探究应用的活动过程。数学教学的目的不再只是让学生掌握数学的基础知识和基本技能，而是更应该让学生愿意亲近数学、了解数学、运用数学，学会“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”。 我们在数学教学时，我们是明确反对数学教育完全脱离学生的生活实际的，而应充分发挥利用学生在日常生活中已建立起来的知识和经验，作为新的学习活动的良好基础。但在同时，数学的本质是一种抽象，一种模型。因此，我们又应该注意防止以“生活味”完全取代数学教学所应具有的“数学味”，以教学中注意思想方法的渗透，让学会“数学地”思考问题，发展学生的理性精神。 总之，数学“有效开放教学”对教师提出了更高的要求。它要求我们把它不仅仅看作是一种新的教学方法和形式，而更要把它作为一种教学思想与理念，一种教学观念与态度。按部就班、一课一例的教学现今看，固不可少。但在同时，我们必须坚持尝试运用数学开放教学，在努力把握课程标准要求的基础上设计出高质量的开放题，在课堂教学中因材施教，分类指导，随机点拨，有机调控，努力激发学生主体参与，使课堂始终弥漫着生动活泼、自由创新、审美创造的浓烈气氛，为创新数学课堂教学做出自己的一份努力。（本文曾获省教育学会论文评比一等奖）
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