开拓思路、启迪思维、激发兴趣 〖第55题〗
【普通解法】
采用枚举法,从小到大一一找出,然后数出个数。(解答略)【巧解一】
采用分解质因数的方法。72=2³×3²,从2³来看,72的约数中有1,2,2²,2³四种情况;从3²来看,72的约数中有1,3,3²三种情况。把两者结合起来,即1,2,2²,2³分别乘以1,3或3²,即可得到1,2,4,8,3,6,12,24,9,18,36,72共12个约数。由以上的解答可知,计算约数的个数不必将约数一一举出,72的所有约数的个数12,实际上是72的两个质因数2和3右上角的数各加上1后的乘积,掌握了这个规律,我们可以很简单地求出任何自然数所有约数的个数。例如,自然数180分解质因数是2²×3²×5,所以它一共有(2+1)×(2+1)×(1+1)=18(个)约数。
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