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“费马是一个第一流的数学家，一个无可指摘的诚实人，一个历史上无与伦比的数论学家。” ——贝尔 “我已经发现了大量极其美妙的定理。” ——费马 费马是法国数学家。1601 年8月20日(另一说17日)生于图卢斯附近的波蒙特；1665年1月12日卒于卡斯特尔。 费马出生于皮革商人家庭，他在家乡上完中学后，考入了图卢斯大学，1631年获奥尔良大学民法学士学位，毕业后任律师，并担任过图卢斯议会议员。虽然数学只是他的业余爱好，但他对解析几何、微积分、数论、概率论都作出了杰出的贡献，被誉为“业余数学家之王”。 01 解析几何 费马是解析几何的两个发明者之一。在笛卡儿的《几何学》发表之前，他在1629年就已发现了解析几何的基本原理。他考虑任意曲线和它上面的一般点M(见图1)：  M的位置用A，E两个字母定出：A是从点O沿底线到点Z的距离，E是从Z到M的距离。他所用的是倾斜坐标，但y轴没有出现，而且不用负数，他的A，E相当于现在用的x，y。费马叙述了他的一般原理：“只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就得到一条轨迹，这两个量之一，其末端就绘出一条直线或曲线”。图中对于不同位置的E，其末端M，M1，M2……就把“线”描出。 费马采用韦达的代数符号给出了直线和圆锥曲线的方程。他还领会到坐标轴可以平移或旋转，并给出一些较复杂的二次方程及其化简后的形式。他肯定：一个联系A和E的方程，如果是一次的就代表直线，如果是二次的就代表圆锥曲线。他还提出了许多以代数方程定义的新曲线，例如，曲线x^{m}y^{n}=a，y^{n}=ax^{m}和r^{n}= aθ，现在仍被称作费马双曲线、抛物线和螺线。费马在1643年又谈到了空间解析几何，他谈到柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面。他在1650年的一篇文章中指出，含有三个未知量的方程表示一个曲面。 02 微积分学 费马是微积分学的杰出先驱者。他在1629年就获得了求函数极值的法则，他的法则可用现在的记号表示如下：欲求f(x)(费马先取个别整有理函数)的极值，先把表达式[f(x+h)-f(x)]/h按h的乘幂展开，并弃去含h的各项，再令所得的结果为零，这时方程的根就可能使f(x)在这一点上有极值。他还应用类似的方法求出平面曲线y=f(x)的切线，实际上他是写出了所谓次切线的表达式f(x)h/(f(x+h)-f(x))，约掉h后再弃去含h的各项。 费马在这两个问题中的计算，都用到了相当于求极限的式子。他的求极值的法则给出了(可微函数的)有极值的必要条件f’(x)=0，而所谓次切线的求法导致求表达式f(x)/f’(x)的结果。他还用类似的方法求出了抛物体截段的重心，这有别于用求积方法求得的重心，在微积分史上是独特的。他还有区分极大和极小的准则，并有求拐点的方法。 费马在讨论抛物线y=x^{n}(n为正整数)下的面积时，以等距离的纵坐标把面积分成窄长条，算出了相当于x^{n}的积分。后来他在横坐标做成几何级数的那些点上引出纵坐标而把他的结果推广到n为分数与负数的情形，同时那些近似于ydx的长条面积组成容易求和的几何级数，其结果当n>0时，相当于  （公式1）的计算，当n<-1，a>0时，相当于今天的广义积分公式1的计算。他还得出了求半立方抛物线长度的方法，他用这种方法处理了许多几何问题，例如，求球的内接圆锥的最大体积、球的内接圆柱的最大表面积等。费马这些成果对后来微积分的建立产生了深远的影响，正如牛顿所说：“我从费马的切线作法中得到了这个方法的启示，我推广了它，把它直接地并且反过来应用于抽象的方程。” 03 近代数论 费马被誉为近代数论之父。他对数论的研究是从阅读丢番图的著作《算术》一书开始的，他对数论的大部分贡献都批注在这本书页的边缘或空白处，有些则是通过给朋友的信件传播出去的。例如，费马在丢番图著的《算术》第二卷第八命题——“将一个平方数分为两个平方数”的旁边写道：“相反，要将一个立方数分为两个立方数、一个四次幂分为两个四次幂，一般地将一个高于二次幂分为两个同次幂，都是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小写不下它。”这就是数学史上著名的费马大定理。这个定理可用现代的术语简述如下： 不可能有满足x^{n}+y^{n}=z^{n}，xyz≠0，n>2的正整数x，y，z，n存在。  在数论这个领域中，费马具有非凡的直觉能力，他提出了数论方面的许多重要定理，但他对这些定理只是略述大意，很少给出详细证明。对这些定理的补充证明曾强烈的吸引着18世纪和19世纪许多杰出的数学家，从而推动了19世纪数论的发展。“费马大定理”提出以来直至1994年三百多年，其间最优秀的数学家都未能给出一般性的证明。但在试图证明这个定理的过程中，却创造出大量新颖的数学方法，引出了不少新的数学理论。所以希尔伯特(Hilbert)称它是“会下金鸡蛋的老母鸡。”直到1994年，“费马大定理”才被英国数学家怀尔斯(Wiles)给出了严格证明。 费马在1654年写的一批信件中，他还同帕斯卡共同建立了概率论的一些基本概念。 04 几何光学 费马研究了几何光学，并在此基础上于1657年发现了光的最小时间原理及与光的折射现象的关系，这是走向光学统一理论的最早一步。 费马性情谦抑，好静成癖。他对数学的许多研究成果都不愿发表。(他的儿子在他去世后，才将其著作、信件、注记汇集成书出版。)这不但使他当时的成就无缘扬名于世，并在他的暮年也脱离了数学研究的主流，所以直到18世纪费马还不太知名。然而进入19世纪中叶，随着数论的兴起，数学家和数学史家对费马及其著作产生了浓厚的兴趣，争先发表研究费马的著作，其中尤以查尔斯·亨利(Cherles Henry)和保罗·坦纳(Paul Tannery)的4卷论文集最为全面，从中可以看出费马对数学和光学所作出的广泛而杰出的贡献。美国数学史家贝尔(Bell)说：“费马是一个第一流的数学家，一个无可指摘的诚实人，一个历史上无与伦比的数论学家。” |
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