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抽象与概括 在数学思维中也是两个很常用的思维方法。特别是在概念形成的学习中，主要是靠抽象与概括的思维方法。 一、抽象 所谓抽象，就是对同类事物，抽取其共同的本质属性或特征，舍弃其非本质的属性或特征的思维过程。 任何抽象都依赖于所研究的对象的性质、特点和研究它的目的。概念的抽象也同样地要依赖于所研究的对象的性质、特点和研究它的目的。 1．等同性抽象(或称弱抽象) 。 等同性抽象就是从同一类事物中抽取其本质特征，同时舍弃其非本质属性的思维过程。这种抽象的特点是把同类事物按其同一的共同属性，建立起等价集合类，并且从等价集合的观点看，它们都具有相同的性质，从而抽象出这类集合的共同性质，形成概念，这个概念的内涵即是这类等价集合的共同特征。 在概念的等同性抽象过程中。它表现为对研究对象的观察、比较、分析、综合、分类、提取、舍弃等一系列过程。这一过程表现为特殊到一般的过程。 2．强化性抽象(或称强抽象) 。 强化性抽象就是指通过把一些新的特征加入到某一概念中而形成的新概念的抽象过程。这种抽象从逻辑上讲，主要表现为“种加类差”形式的抽象。强化抽象总是在某一概念基础上的抽象，抽象的结果(新概念) 又类属于原概念，即是原概念的类概念。它们之间是一种从属关系。因此这种抽象过程，容易形成概念间的关系结构——概念体系。 从现代认知观点来看，强化性抽象表现出一种概念的认知同化过程，即类属同化过程。 3．理想化抽象(或称构造性抽象) 。 理想化抽象是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的对象(数学概念) 的思维过程。这种抽象的结果是一种理想化的观念形态。这种观念形态虽不是现实世界中的具体的实物对象，但它的出现(抽象结果) 有利于数学研究。 例如，几何中的“点”、“线”、“面”、“体”，代数中的“虚数”等概念就是理想化抽象的产物。 4．公理化抽象。 公理化抽象是数学中或出于逻辑上的需要，或为了克服数学内部的矛盾(悖论) 而形成的一种数学抽象。前者如自然数的皮亚诺公理，就是一种对自然数(序数) 的概念的一种抽象所得的结果。后者如非欧 几何中的“平行公理”，康托的“一一对应”法则，就是为了克服数学内部发展过程中的矛盾而产生的抽象。 5．可实现性抽象。 它是理想化抽象的一个特殊情况。通过这种抽象，使得在现实世界中难以实现的对象成为了可能。它是一种理想化的、潜在的抽象形式。 数学抽象有不同于自然科学的抽象，表现为以下特点： 1．数学抽象是在自然科学止步的地方开始的。自然科学的抽象没有脱离客观物质的性质，而数学的抽象恰恰要摆脱客观物质，从客观事物中抽取其数与形的属性。从这种意义上说，数学概念的抽象高于自然科学的抽象。 2．数学抽象具有层次性。 数学概念是抽象的结果，但是不同的数学概念又表现出抽象的层次性。 3．数学抽象过程要凭借着分析或直觉。 分析型抽象中的分离，就是把事物的本质特征从事物的所有属性中分离出来；提纯就是把分离出来的本质特征加以提纯，即把其中的 非本质属性排除出去；简略就是把提纯出来的事物的本质特征加以简化，把那些多余的属性省去。 直觉型抽象，就是不通过分析过程或逻辑思维过程而一下子抓住事物的本质特征的一种抽象过程。例如，圆的切线是与圆只有一个交点的直线，就是能够通过直觉去把握它的一种数学概念。对它的抽象要借助于直觉。 4．数学的抽象不仅有概念的抽象，还有方法的抽象。 二、概括 概括是一种由个别到一般的认识过程。概括就是把同类事物的共同属性联结起来，或把个别事物的某种属性推广到同类事物中去的思维方法。 概括过程的基本特点是从特定的、个别的、小范围的认识，扩展到一般的、普遍的、大范围的认识。它是以个别的认识为基础，进而去认识一类事物的过程，因此概括的结果可能导致发现。 1．完全性概括。 完全性概括就是把同类事物的共同属性，从该类事物的所有个别事物中加以联结而形成的认识。它是建立在完全归纳基础上的概括。 2．外推性概括。 外推性概括是指从某类事物中的部分个别事物的属性的认识，推广到对该类事物的整体性的认识。外推性概括又分两种： (1)不完全归纳概括。 这类概括，就是对某类事物的若干个别事物的属性的认识，推广到这该类事物的共同属性的思维过程。这种认识过程就是一种不完全归纳的概括过程。 (2)类比概括。 类比概括就是对某一类事物的属性的认识，外推到对另一类事物属性的认识过程。 |
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