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为什么有火眼金睛善使如意金箍棒能翻筋斗云会七十二变的孙悟空，却逃不出如来佛的五指山？其中大有深意，学者不可不察。本文从西游记给我们的启示出发探讨数学学习的根本之道。 学习之道：从七十二变到如来神掌 《西游记》被称为古今奇书，义理深广，融儒佛道于一体，各家各派都可以从中解读出甚深寓义。 其中神通广大的孙悟空被如来佛一掌轻易制服这一情节说明了什么样的道理？ 儒家《大学》有云：物有本末，事有终始，知所先后，则近道矣。又云：知止而后有定，定而后能静，静而后能安，安而后能虑，虑而后能得。其义：知止，止就是目标，即知道止于何处，当止在根本之处，止在终点之处。 根本与终点在哪里呢？可称之为“道”。 “道”又为何？“道”不可言说，只能勉强说之：道生一，一生二，二生三，三生万物（《道德经》）。 学者如何求道？与道生万物是相反的过程，人从认识万物开始，从万物中感悟提炼出三、二、一，再到道。 所以老子又云：为学日益，为道日损。 为学是认识分析万事万物的过程，是学知识、学技术，越学越繁多，处在发展变化的过程；为道是融合统驭万事万物的过程，是求真理、求合一，越求越简单，达到不变应万变的境界。当代的很多大科学家也想要寻求所有理论的大一统，爱因斯坦就梦想把物理学的四种场力统一而未能如愿。 术与道是相辅相成的，以术求道，以道驭术。求术不求道必致于迷，求道不求术必流于空。 再看孙悟空与如来佛，孙悟空的金箍棒招式万千，还会腾云驾雾七十二变，可见他还处在“为学”的阶段，追求变化多端；而如来佛不管遇到什么妖魔，从不需要变化，以“如来神掌”一出手即可降伏，他不是不会变化，而是掌握了一切变化，到了以不变应万变的“成道”阶段。孙悟空虽然掌握了七十二变，但九九八十一才是最大的数，说明孙悟空的变化还未到极致，所以还要经历九九八十一难才能功行圆满成就大道。孙悟空未成道前，他是自我膨胀的，他以为他掌握了七十二变很了不起，闯龙宫、闹地府、斗天庭，折腾不休。知止而后有定，这时他还不知“止”，就是不了解“道”，心是不定的，所以玉帝为齐天大圣府设了“安静”、“宁神”二司，意为安定其心神。有趣的是，现实当中，正是半吊子的学者才会自视甚高目空一切，真正了解真理的人是很谦虚的。当孙悟空成佛之时，头上的紧箍自然消失，寓意禁锢是因自己的成长而解除，自由是因自己的成长而实现，而非他力所致。 由此，我们可以理解西游记的真意是：带着向道之心在实践当中不断学习磨炼，在了解千变万化的事物之后，融会贯通合而为一，最终到达真理的彼岸，实现自我的自由。 学习任何学科也是一样的道理，通过学习多种知识技能提炼思想方法，再把各类思想方法融会贯通归而为一，最终达到收发随心运用自如的境界。 著有《为不教而教》的教育专家周长生老先生总结教育哲学九字诀：找共性、证共性、用共性。共性也在不断发展拓宽，从局部共性到整体共性、再到更大整体的共性。认识过程是从一个事物到一类事物再到一切事物，把“一个”归结到“一类”，再把“一类”不断扩展，向“一切”靠近。  同学们平时学习知识技能就是在苦练“七十二变”，做作业做练习就是在经历“八十一难”，复习整理总结归纳就是练“如来神掌”，学业有成考试成功就是“得真经成正果”。猪八戒为什么成不了佛？因为他只会“三十六变”，掌握的变化还不多，量变足够才能引起质变，还因为他怕吃苦，每当受难之时就要打退堂鼓。 初三的同学们，你们已经苦练了“七二十变”，经历了“八十一难”，在复习阶段就要整合各种招式套路来融炼“如来神掌”。“如来神掌”不是新招式，而是包含融合“七十二变”的所有变化，站在统领全局的高度达到灵活运用挥洒自如的境界。 我们可以用“变换构造”四个字概括数学解题的总方法，即把问题用各种变换方式进行转化，最终构造成合适的数学模型以解决问题。这四字可以作为数学解题的“如来神掌”。 “变换构造”就是把自然语言变换为数学语言，把数学关系变换为数学模型。 那么，变换构造的统领性策略有哪些？ 可以总述为八字诀“加、减、进、退、合、分、动、静”。 下面我们以实例一试牛刀，看此“如来神掌”级功法是否有用。 先介绍下“加”与“减”：加，即把问题的相关元素增加，补充，使之转化成已知模型，如证明三角形内角和时，通过添加平行线转化为平行线模型得以解决。减，即减少、化简，如解多元方程组或高次方程时，要通过消元、降次把元的个数和次数不断地减少，直至转化成一元一次方程，解一元一次方程也是把项数不断减少，系数不断减小，直至变为x=m的形式。 例1.（2017常州卷第8题）如图，已知□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC，若EF=2,FG=GC=5,则AC的长是( ).  分析：求AC，但AC不在直角三角形中，添加辅助线构造直角三角形即可。  例2.（2017盐城卷26题） 如图①,是一张直角三角形纸片,∠B=60°,小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线DE、EF剪下时,所得的矩形的面积最大,随后,他通过证明验证了其正确性,并得出:矩形的最大面积与原三角形面积的比值为_____.  拓展应用 如图②,在ΔABC中,BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上,顶点Q、M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为_____.(用含a,h的代数式表示)  灵活应用 如图③,有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角),求该矩形的面积为.  实际应用 如图④,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB＝50,BC＝108,CD＝60,且tanB=tanC=4/3,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积.  分析：本题用一个“加”字诀足可解决。 如下图，两个图①相加即得图②：  如下图，图③可以补充成图①：  如下图，图④可以补充成图②：  构造完成，后面的问题直接应用前面的结论，题目不难得解。 小结：例1、例2主要用“加”字诀，解题关键在于把图形添加补充完整，使之转化为已解决的图形，直接应用已知结论解题。 例3.（2017宁波卷12题）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形．在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个在大矩形的面积，则n的最小值是（ ） A、3 B、4 C、5 D、6  分析：如下图，把图中的数量简化，九小矩形有4个不同边长，把问题转化为只要能确定a+b+c及b+c+d的值就能算出大矩形面积。这样把a+b+c与b+c+d分为a+b、b+d、c三组即知道三个小矩形周长即可。设a+b=m，b+d=p，c=q，则可知a+b+c=m+p，b+d+c=q+p，得大矩形面积为(m+p)(q+p)。 例4.（2017南通卷18题）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=k/x（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为 ． 分析：本题常用方法是根据函数关系和几何关系建立方程求图象上的点坐标，关键是如何设未知数使解题过程更简洁高效，显然，一是未知数的个数要尽量少，二是尽量用整式和整数参加运算。如下图利用相似三角形的比例关系设边长，可以简单快捷地解决问题。 例5.（2017年泰州卷26题） 平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=-x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）． （1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点． ①当a=1、d=﹣1时，求k的值； ②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围； （2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由； （3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由． 分析：本题网上解析多数较繁琐，且错误较多，我们要探求最简洁最容易理解的解法。 问题（1）①略。 问题（1）②：通常我们想到增减性是当x1<x2时，比较y1与y2的大小，当然这样也可以求出来，只是稍显麻烦，为了减少计算量，这里可以回到条件：A、B是在二次函数上，此时比较横坐标与对称轴位置的关系即可确定y1与y2的大小。熟悉二次函数性质的同学知道“开口向下时，点离对称轴越远其纵坐标越小”，因此可直接根据点A、B到对称轴的距离关系求得d的取值范围，这样更加简单直接。 问题（2）同样可以根据A、B点到对称轴的距离判断AB与x轴的关系。 问题（3）：首先要确定A、B点运动路径。点在坐标系中的运动路径由该点纵坐标与横坐标的函数关系决定，因此问题转化为点A、B的纵坐标与横坐标的函数表达式。 小结：例3、例4、例5主要用“减”字诀，关键在于把问题简化，如例3是把多个数量简化为4个长度，例4把巧设未知数灵活运用数量关系把解题过程和计算简化，例5把数量关系式化简为只含所求变量及常量的表达式。 |
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